數學家朱世傑
朱世傑（1249年－1314年），字漢卿，號松庭，漢族，燕山（今北京）人氏，元代數學家、教育家，畢生從事數學教育。有“中世紀世界最偉大的數學家”之譽。
01
元統一中國後，朱世傑曾以數學家的身份周遊各地20餘年，向他求學的人很多，他到廣陵(今揚州)時“踵門而學者雲集”。他全面繼承了前人數學成果，既吸收了北方的天元術，又吸收了南方的正負開方術、各種日用算法及通俗歌訣，在此基礎上進行了創造性的研究，寫成以總結和普及當時各種數學知識為宗旨的《算學啟蒙》(3卷)，又寫成四元術的代表作--《四元玉鑑》(3卷)，先後於：1299年和1303年刊印．《算學啟蒙》由淺入深，從一位數乘法開始，一直講到當時的最新數學成果――天元術，儼然形成一個完整體系。
書中明確提出正負數乘法法則，給出倒數的概念和基本性質，概括出若干新的乘法公式和根式運算法則，總結了若干乘除捷算口訣，並把設輔助未知數的方法用於解線性方程組．《四元玉鑑》的主要內容是四元術，即多元高次方程組的建立和求解方法．秦九韶的高次方程數值解法和李冶的天元術都被包含在內．
朱世傑突破了有理式的限制，開始處理無理方程．其次是高階等差級數的研究．沈括的隙積術開研究高階等差級數之先河，楊輝給出包括隙積術在內的一系列二階等差級數求和公式．朱世傑則在此基礎上依次研究了二階、三階、四階乃至五階等差級數的求和問題，從而發現其規律，掌握了三角垛統一公式．他還發現了垛積術與內插法的內在聯繫，利用垛積公式給出規範的四次內插公式．第三是幾何學的研究．宋代以前，幾何研究離不開勾股和麵積、體積．蔣周的《益古集》也是以面積問題為研究對象的．李冶開始注意到圓城因式中各元素的關係，得到一些定理，但未能推廣到更一般的情形．朱世傑不僅總結了前人的勾股及求積理論，而且在李冶思想的基礎上更進一步，深入研究了勾股形內及圓內各幾何元素的數量關係，發現了兩個重要定理--射影定理和絃冪定理．他在立體幾何中也開始注意到圖形內各元素的關係．朱世傑的工作，使得幾何研究的對象由圖形整體深入到圖形內部，體現了數學思想的進步。
朱世傑在數學科學上，全面地繼承了秦九韶、李冶、楊輝的數學成就，並給予創造性的發展，寫出了《算學啟蒙》、《四元玉鑑》等著名作品，把我國古代數學推向更高的境界，形成宋元時期中國數學的最高峰。《算學啟蒙》是朱世傑在元成宗大德三年（1299）刊印的，全書共三卷，20門，總計259個問題和相應的解答。這部書從乘除運算起，一直講到當時數學發展的最高成就“天元術”，全面介紹了當時數學所包含的各方面內容。
它的體系完整，內容深入淺出，通俗易懂，是一部很著名的啟蒙讀物。這部著作後來流傳到朝鮮、日本等國，出版過翻刻本和註釋本，產生過一定的影響。而《四元玉鑑》更是一部成就輝煌的數學名著。它受到近代數學史研究者的高度評價，認為是中國古代數學科學著作中最重要的、最有貢獻的一部數學名著。《四元玉鑑》成書於大德七年（1303），共三卷，24門，288問，介紹了朱世傑在多元高次方程組的解法——四元術，以及高階等差級數的計算——垛積術、招差術等方面的研究和成果。
02
朱世傑的主要貢獻是創造了一套完整的消未知數方法，稱為四元消法．這種方法在世界上長期處於領先地位，直到18世紀，法國數學家貝祖(Bezout)提出一般的高次方程組解法，才超過朱世傑。除了四元術以外，《四元玉鑑》中還有兩項重要成就，即創立了一般的高階等差級數求和公式及等間距四次內插法公式，後者通常稱為招差術．此書代表著宋元數學的最高水平，美國科學史家薩頓(G．Sarton)稱讚它“是中國數學著作中最重要的一部，同時也是中世紀的傑出數學著作之一”。朱世傑處於中國傳統數學發展的鼎盛時期，當時社會上“尊崇算學，科目漸興”，數學著作廣為傳播。
對多元高次方程組解法、高階等差級數求和，高次內插法都有深入研究，他著有《算學啟蒙》(1299年)、《四元玉鑑》(1303年)各3卷，在後者中討論了多達四元的高次聯立方程組解法，聯繫在一起的多項式的表達和運算以及消去法，已接近近世代數學，處於世界領先地位，他通曉高次招差法公式，比西方早四百年，中外數學史家都高度評價朱世傑和他的名著《四元玉鑑》。
從天元術推廣到二元、三元和四元的高次聯立方程組，是宋元數學家的又一項傑出的創造。留傳至今，並對這一傑出創造進行系統論述的是朱世傑的《四元玉鑑》。《四元玉鑑》成書於1303年。全書共3卷，24門，288問，主要論述高次方程組的解法（這也是朱世傑的最大貢獻）、高階等差級數求和以及高次內插法等內容。是流傳至今且對四元術進行系統論述的重要代表作。
在天元術的基礎上，朱世傑建立了“四元高次方程理論”，他把常數項放在中央（即“太”），然後“立天元一於下，地元一於左，人元一於右，物元一於上”，“天、地、人、物”這四“元”代表未知數，(即相當於如今的x、y、z、w，)四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上，其它各項放在四個象限中。如果用現代的x、y、z、w表示天、地、人、物，那我們可以把朱世傑列高次多元方程的方法表示：而上面的兩個圖形“四元一次籌式”與“四元二次籌式”所表示的方程分別為：x+y+z+w=0
用上述方法列出四元高次方程後，再聯立方程組進行解方程組，方法是用消元方法解答,先擇一元為未知數，其它元組成的多項式作為這未知數的係數，然後把四元四式消去一元，變成三元三式，再消去一元變二元二式，再消去一元，就得到只含一元的天元開方式，然後用增乘開方法求得正根。這是線性方法組解法的重大發展，在西方，較有系統地研究多元方程組要等到16世紀。高階等差級數求和與高次內插法也是《四元玉鑑》的重要內容。由許多求和問題中的一系列三角垛公式可歸納得公式。朱世傑給出了上式中當p=1，2，……6時的公式。此外，還有其它高階等差級數求和公式。在招差法方面，朱世傑相當於給出了招差公式，這比西方要早400多年。
美國著名的科學史家薩頓評論說：“朱世傑是他所生存時代的，同時也是貫穿古今的一位最傑出的數學家”，《四元玉鑑》是“中國數學著作中最重要的一部，同時也是整個中世紀最傑出的數學著作之一。”朱世傑不僅是一名傑出的數學家，他還是一位數學教育家，曾周遊四方各地，教授生徒20餘年。並親自編著數學入門書，稱為《算學啟蒙》。在《算學啟蒙》卷下中，朱世傑提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，補充了《九章算術》的不足。
閱讀更多 西南數學之家 的文章
