有些与数学有关的令人震惊的事实和游戏，甚至数学也无法解释。我只想将这些事实称为“数学的抽象”。
让我们看一看这些游戏或技巧。假设你所在的教室至少有25名学生，而你是老师。你给大家一个白纸，写一个数字，介于0到9之间的任何数字。在学生们将数字写在纸上并折叠之后，你把纸条收集起来。当然，你对纸上写的内容一无所知。
我要说的是大多数学生选择了数字7，但是我对此没有任何解释，尽管它总是正确的。不相信的话可以去做个试验。
要玩这个游戏，有一些条件。首先，你需要至少25个人。否则，就会有失败风险。你可能认为这是概率的问题，但事实并非如此。因为有10位数字，所以每个学生被选中的每一位数字的概率是1/10。所以，数学解释现在在这里不起作用了。我认为这也可以用生理学或社会学来解释。
还有一些非常有趣的事情是数学无法解释的。这里，我们有4个不同的矩形。如果我们问人们哪个长方形更漂亮，70%-80%的人会选择绿色的。
我们也不能仅用数学来解释这种情况，因为我们在数学中没有一个关于美的定义，而这个事实在数学上是无法理解的。然而，营销人员非常有效地利用了这些信息。当他们意识到大多数人更喜欢特定的设计师。
许多年过去了，我们仍然找不到人们为什么选择7的答案，但是一位名叫阿德里安·贝扬的院士找到了人们为什么选择绿色矩形的答案。教授发现，“人类的眼睛能够比其他任何动物更快地解读出黄金比例的图像。”“所以绿色矩形有黄金比例，看起来比其他矩形更漂亮。
你可能听说过欧几里得。我之前写过一些关于他的文章。他有一本叫《原本》的书。我绝对建议你买那本书。欧几里得在《原本》一书中对黄金分割的定义如下：
几何原本
本书是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，集整个古希腊数学的成果与精神于一身。既是数学巨著，也是哲学巨著，并且第一次完成了人类对空间的认识。该书自问世之日起，在长达两千多年的时间里，历经多次翻译和修订，自1482年第一个印刷本出版，至今已有一千多种不同版本。除《圣经》之外，没有任何其他著作的研究、使用和传播之广泛能够与本书相比。徐光启在译此作时，对该书有极高的评价，他说：“能精此书者，无一事不可精；好学此书者，无一事不科学。”现代科学的奠基者爱因斯坦更认为：如果欧几里得未能激发起你少年时代的科学热情，那你肯定不会是一个天才的科学家。由此可见，本书对人们理性推演能力的影响，即对人的科学思想的影响是何等巨大。
将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。
换句话说，欧几里得说过，线段上有一个点，我们可以称它为黄金点，它完美地分割了这条线。他的主张是武断的，但也是正确的。
如上图，如果C是黄金分割点，那么：
从数学上讲，如果你有一个线段|AB|，在点A和点B之间存在一个点C，我们可以得到一些比值，比如|AB|/|AC|和|AC|/|BC|。如果这两个比率相等，它们就是黄金比率，1.618。
我很确定，这个特殊比率让你们非常非常好奇，你们想知道欧几里德是怎么得到黄金比率的值的？让我们一起试着找到它。
设：|AC|的长度= x， |CB|的长度= y，则
这意味着如果我们可以找到x / y的值我们可以找到φ的价值，这将得到一个二次方程：x^2= xy + y^2
然后我们可以把所有的变量放在一边，这次我们得到：
x^2- xy + y^2= 0
提示：我们的目的是找到x/y。如果我们把所有的项除以y^2，然后我们得到：
如果我们可以定义(x / y) =φ，我们得到：
φ²-φ- 1 = 0。
这里，我们需要记住二次方程公式：
设a b c是实数。解决方案的ax^2+ bx + c = 0
二次公式告诉我们方程的根的乘积等于-1。因此，一个根的乘积是负的，另一个是正的。然而，通过黄金分割的定义，φ不能是负数。所以我们要选择正根。现在我们可以解这个方程了。
到目前为止，我们只做了一部分。我们仍然需要证明为什么人们选择上面的绿色矩形，为什么欧几里得把它叫做黄金矩形。
当我们回到以点C为切点的线段|AB|时，我们可以从黄金点C折叠它，得到一个直角。现在我们可以构建一个矩形。这个矩形是黄金矩形，因为两边的长度是x和y，我们已经证明x / y等于黄金比例，φ。
黄金矩形具有其他矩形不具有的属性。这是一个特殊的矩形，如果你把它切成正方形，剩下的矩形也是黄金矩形。
到目前为止一切顺利。现在，我们可以尝试一些不同的东西，如找到一个黄金三角，如果存在的话。
首先，我们需要决定我们需要处理什么样的三角形。当我们从黄金矩形中移除一个正方形部分时，我们仍然有一个黄金矩形。三角形也需要相同的性质。我认为很明显一个等边三角形不可能是金三角因为如果你从一个等边三角形中切出一个等边三角形剩下的部分就不是等边三角形。
不过，我们可以研究等腰三角形！步骤是明确的。我们有一个等腰三角形然后从原来的等腰三角形中切出另一个等腰三角形然后检查剩下的三角形是否与原来的三角形相似。如果是，我们将称之为黄金三角形。我下一步我们会发现边的比例等于黄金比例。
让我们从底角等于2α的等腰三角形ABC开始。然后从点B到| AC |边画一条线。得到两个不同的 等腰三角形ABD和BCD。在这里，我们得到一些有趣的东西，因为三角形BCD 的底角也是2α，而ABD的底角也是α。因此，三角形ABC的角度为α，2α，2α。这使我们得到5α= 180，所以α= 36。
现在我们得到了一个非常特殊的三角形，它的顶角是36，底角是72。
如你所见，我们最后得到了相同的二次方程。所以角为36-72-72的三角形应该是金三角。顺便说一下，如果你继续挖掘，你会发现108-36-36也是一个金三角。
举个例子。如果有一个五边形，它的对角线长度和边长之比是多少?如果你从任何一条边画一条对角线我们会得到一个三角形，它是一个金三角因为角是108，36和36。
所以,如果五边形的一侧的长度是1，然后φ为对角线的长度。我们不做任何计算就解决了一道难题。没有任何关于黄金分割的知识，我们不得不处理很多线，二次方程，等等…
再看一个例子。如果我们连接一个五边形的所有对角线，中间会有更小的五边形，你看到的每个三角形都将是一个金三角。
问题是：小五边形的面积和大五边形的面积之比是多少？
我们可以轻松做求出，因为如果我们将小五边形边长设为1，三角形的边设为φ。然后，可以求出大五边形边长为φ²。那么相似比为1 /φ²，则面积之比为1 /φ⁴。
φ还有另一个独特的属性，φ是唯一一个平方等于其和与1的和的数字。有趣的是，我们可以得到以下的规律：
这里的常数很有趣。1 、1 、2 、3 、5 、8 、13、 21 、34、 55…这些不是随机数。这些数字来自斐波那契数列，其中每一项都是前两项的和。
斐波那契数列与黄金分割比率之间的关系是独一无二的。序列中2个连续数字的比率过了一会儿就得到了黄金分割率。如果你处理序列中的大数字，你将得到黄金分割率的每一位数。
例如：
5/3= 1.666…
8/5 = 1.6
13/8 = 1.61……
21/13 = 1.618…
如果你继续这样做你会得到一个新的φ的数字。
这个信息非常有用，因为不用计算器我们也可以很容易地求出sin18或cos36！
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