“A+轻绳+B”系统的机械能守恒：速率一定相等吗？

【问题来源】

人教《物理》必修2——P94，4.

一条轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，B球的质量是A球的3倍。用手托住B球，当轻绳刚好被拉紧时，B球离地面的高度是h，A球静止于地面，如图所示。释放B球，当B球刚落地时，求A球的速度大小。定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计，重力加速度为g。

解答：由于定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计，所以在B球下降的过程中，A、B两球构成的系统机械能守恒，设A球的质量为m，则有：

【问题思考】

以上情景就是高中物理中常见的系统机械能守恒模型——“A+轻绳+B”，所列附加方程②的依据是：在任意一段时间内，B下降多少，A就上升多少，所以A、B的速率始终相等。是不是在其他情景中也是这样呢？如果不是这样，那很多见了“A+轻绳+B”模型，就认为两者速率相等的同学就“杯具”了！

【实例分析】

1.（人教《物理》必修2——P101，6）如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A、轻质定滑轮下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，重物A、B处于静止状态，释放后A、B开始运动。已知A、B的质量相等，假设摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为g，当A的位移为h时，A的速度有多大？

解答：释放重物A、B后，由于A受到绳的拉力是B受到绳拉力的两倍，所以A上升，B下降。当A上升的高度为h时，B下降的高度为2h，且在任意时间段内，B的位移大小总是A的两倍，所以两者的速率满足：

由于摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，所以再根据A、B系统的机械能守恒得:

2.如图所示为一半径为R的半圆形竖直圆柱面，A、B两个小球用轻质不可伸长的细绳连接，并悬挂在圆柱面边缘的两侧， A球的质量为B球质量的2倍。现将A球从圆柱的边缘处由静止释放， 已知A球下滑时始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，不计一切摩擦，求A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小v。

由下图可知，A 球的速度v与B球的速度vB的关系为:

【归纳总结】

由以上分析可以看出，在解决“A+轻绳+B”系统的机械能守恒问题时，切勿盲目的认为绳两端的A、B速率一定相等，应根据具体的运动情景，找到速率之间正确的约束关系，然后再结合机械能守恒定律方程求解。

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