2019江蘇省南京市中考數學試題考點精講
1．相反數
（1）相反數的概念：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數．
（2）相反數的意義：掌握相反數是成對出現的，不能單獨存在，從數軸上看，除0外，互為相反數的兩個數，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等．
（3）多重符號的化簡：與“+”個數無關，有奇數個“﹣”號結果為負，有偶數個“﹣”號，結果為正．
（4）規律方法總結：求一個數的相反數的方法就是在這個數的前邊添加“﹣”，如a的相反數是﹣a，m+n的相反數是﹣（m+n），這時m+n是一個整體，在整體前面添負號時，要用小括號．
2．倒數
（1）倒數：乘積是1的兩數互為倒數．
一般地，a•＝1 （a≠0），就說a（a≠0）的倒數是．
（2）方法指引：
①倒數是除法運算與乘法運算轉化的“橋樑”和“渡船”．正像減法轉化為加法及相反數一樣，非常重要．倒數是伴隨著除法運算而產生的．
②正數的倒數是正數，負數的倒數是負數，而0 沒有倒數，這與相反數不同．
【規律方法】求相反數、倒數的方法
求一個數的相反數
求一個數的相反數時，只需在這個數前面加上“﹣”即可
求一個數的倒數
求一個整數的倒數，就是寫成這個整數分之一
求一個分數的倒數，就是調換分子和分母的位置
注意：0沒有倒數．
3．科學記數法—表示較大的數
（1）科學記數法：把一個大於10的數記成a×10n的形式，其中a是整數數位只有一位的數，n是正整數，這種記數法叫做科學記數法．【科學記數法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數．】
（2）規律方法總結：
①科學記數法中a的要求和10的指數n的表示規律為關鍵，由於10的指數比原來的整數位數少1；按此規律，先數一下原數的整數位數，即可求出10的指數n．
②記數法要求是大於10的數可用科學記數法表示，實質上絕對值大於10的負數同樣可用此法表示，只是前面多一個負號．
4．平方根
（1）定義：如果一個數的平方等於a，這個數就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數，零的平方根是零，負數沒有平方根．
（2）求一個數a的平方根的運算，叫做開平方．
一個正數a的正的平方根表示為“”，負的平方根表示為“﹣”．
正數a的正的平方根，叫做a的算術平方根，記作a．零的算術平方根仍舊是零．
平方根和立方根的性質
1．平方根的性質：正數a有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根．
2．立方根的性質：一個數的立方根只有一個，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0．
5．算術平方根
（1）算術平方根的概念：一般地，如果一個正數x的平方等於a，即x2＝a，那麼這個正數x叫做a的算術平方根．記為a．
（2）非負數a的算術平方根a有雙重非負性：①被開方數a是非負數；②算術平方根a本身是非負數．
（3）求一個非負數的算術平方根與求一個數的平方互為逆運算，在求一個非負數的算術平方根時，可以藉助乘方運算來尋找．
6．立方根
（1）定義：如果一個數的立方等於a，那麼這個數叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果x3＝a，那麼x叫做a的立方根．記作：．
（2）正數的立方根是正數，0的立方根是0，負數的立方根是負數．即任意數都有立方根．
（3）求一個數a的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數．
注意：符號a3中的根指數“3”不能省略；對於立方根，被開方數沒有限制，正數、零、負數都有唯一一個立方根．
【規律方法】平方根和立方根的性質
1．平方根的性質：正數a有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根．
2．立方根的性質：一個數的立方根只有一個，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0．
7．實數與數軸
（1）實數與數軸上的點是一一對應關係．
任意一個實數都可以用數軸上的點表示；反之，數軸上的任意一個點都表示一個實數．數軸上的任一點表示的數，不是有理數，就是無理數．
（2）在數軸上，表示相反數的兩個點在原點的兩旁，並且兩點到原點的距離相等，實數a的絕對值就是在數軸上這個數對應的點與原點的距離．
（3）利用數軸可以比較任意兩個實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，右邊的總比左邊的大，在原點左側，絕對值大的反而小．
8．估算無理數的大小
估算無理數大小要用逼近法．
思維方法：用有理數逼近無理數，求無理數的近似值．
9．冪的乘方與積的乘方
（1）冪的乘方法則：底數不變，指數相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整數）
注意：①冪的乘方的底數指的是冪的底數；②性質中“指數相乘”指的是冪的指數與乘方的指數相乘，這裡注意與同底數冪的乘法中“指數相加”的區別．
（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整數）
注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數字因數的乘方應根據乘方的意義，計算出最後的結果．
10．多項式乘多項式
（1）多項式與多項式相乘的法則：
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加．
（2）運用法則時應注意以下兩點：
①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；②多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合併同類項之前，積的項數應等於原多項式的項數之積．
11．因式分解-運用公式法
1、如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反．
②能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數（或式）的平方和的形式，另一項是這兩個數（或式）的積的2倍．
3、要注意公式的綜合應用，分解到每一個因式都不能再分解為止．
12．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根號化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）兩個含二次根式的代數式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數式成互為有理化因式．
一個二次根式的有理化因式不止一個．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），這裡的a可以是任意有理數．
13．二次根式的混合運算
（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用．學習二次根式的混合運算應注意以下幾點：
①與有理數的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最後加減，有括號的先算括號裡面的．
②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式“．
（2）二次根式的運算結果要化為最簡二次根式．
（3）在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍．
14．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意義：
能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實數根，則下列兩等式成立，並可利用這兩個等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
15．一元二次方程的應用
1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設未知數，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗和作答．
2、列一元二次方程解應用題中常見問題：
（1）數字問題：個位數為a，十位數是b，則這個兩位數表示為10b+a．
（2）增長率問題：增長率＝增長數量/原數量×100%．如：若原數是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長後為a（1+x）；第二次增長後為a（1+x）2，即 原數×（1+增長百分率）2＝後來數．
（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關係列一元二次方程．③利用相似三角形的對應比例關係，列比例式，通過兩內項之積等於兩外項之積，得到一元二次方程．
（4）運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會構成直角三角形，可運用直角三角形的性質列方程求解．
【規律方法】列一元二次方程解應用題的“六字訣”
1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數量關係．
2．設：根據題意，可以直接設未知數，也可以間接設未知數．
3．列：根據題中的等量關係，用含所設未知數的代數式表示其他未知量，從而列出方程．
4．解：準確求出方程的解．
5．驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題．
6．答：寫出答案．
16．解分式方程
（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論．
（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應如下檢驗：
①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．
②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程時，一定要檢驗．
17．一次函數的性質
一次函數的性質：
k＞0，y隨x的增大而增大，函數從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數從左到右下降．
由於y＝kx+b與y軸交於（0，b），當b＞0時，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交於正半軸；當b＜0時，（0，b）在y軸的負半軸，直線與y軸交於負半軸．
18．一次函數與一元一次不等式
（1）一次函數與一元一次不等式的關係
從函數的角度看，就是尋求使一次函數y＝kx+b的值大於（或小於）0的自變量x的取值範圍；
從函數圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫座標所構成的集合．
（2）用畫函數圖象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
對應一次函數y＝kx+b，它與x軸交點為（﹣，0）．
當k＞0時，不等式kx+b＞0的解為：x＞，不等式kx+b＜0的解為：x＜；
當k＜0，不等式kx+b＞0的解為：x＜，不等式kx+b＜0的解為：x＞．
19．二次函數綜合題
（1）二次函數圖象與其他函數圖象相結合問題
解決此類問題時，先根據給定的函數或函數圖象判斷出係數的符號，然後判斷新的函數關係式中係數的符號，再根據係數與圖象的位置關係判斷出圖象特徵，則符合所有特徵的圖象即為正確選項．
（2）二次函數與方程、幾何知識的綜合應用
將函數知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善於將函數問題轉化為方程問題，善於利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數的知識，並注意挖掘題目中的一些隱含條件．
（3）二次函數在實際生活中的應用題
從實際問題中分析變量之間的關係，建立二次函數模型．關鍵在於觀察、分析、創建，建立直角座標系下的二次函數圖象，然後數形結合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數的取值範圍要使實際問題有意義．
20．幾何體的展開圖
（1）多數立體圖形是由平面圖形圍成的．沿著稜剪開就得到平面圖形，這樣的平面圖形就是相應立體圖形的展開圖．同一個立體圖形按不同的方式展開，得到的平面展開圖是不一樣的，同時也可看出，立體圖形的展開圖是平面圖形．
（2）常見幾何體的側面展開圖：
①圓柱的側面展開圖是長方形．②圓錐的側面展開圖是扇形．③正方體的側面展開圖是長方形．④三稜柱的側面展開圖是長方形．
（3）立體圖形的側面展開圖，體現了平面圖形與立體圖形的聯繫．立體圖形問題可以轉化為平面圖形問題解決．
從實物出發，結合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結合立體圖形與平面圖形的轉化，建立空間觀念，是解決此類問題的關鍵．
21．平行線的判定
（1）定理1：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那麼這兩條直線平行． 簡單說成：同位角相等，兩直線平行．
（2）定理2：兩條直線被第三條所截，如果內錯角相等，那麼這兩條直線平行．簡單說成：內錯角相等，兩直線平行．
（3 ）定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內角互補，那麼這兩條直線平行．簡單說成：同旁內角互補，兩直線平行．
（4）定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那麼這兩條直線平行．
（5）定理5：在同一平面內，如果兩條直線同時垂直於同一條直線，那麼這兩條直線平行．
22．三角形三邊關係
（1）三角形三邊關係定理：三角形兩邊之和大於第三邊．
（2）在運用三角形三邊關係判定三條線段能否構成三角形時並不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大於第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．
（3）三角形的兩邊差小於第三邊．
（4）在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最後要用三邊關係去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，容易忽略．
23．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應相等的兩個三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決於題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．
24．線段垂直平分線的性質
（1）定義：經過某一條線段的中點，並且垂直於這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．
（2）性質：①垂直平分線垂直且平分其所在線段． ②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等． ③三角形三條邊的垂直平分線相交於一點，該點叫外心，並且這一點到三個頂點的距離相等．
25．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等於斜邊長的平方．
如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那麼a2+b2＝c2．
（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的變形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由於a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大於該直角三角形中的每一條直角邊．
26．勾股定理的應用
（1）在不規則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．
（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．
（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度．
②由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等於以直角邊為邊長的多邊形的面積和．
③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數學模型解決現實世界的實際問題．
④勾股定理在數軸上表示無理數的應用：利用勾股定理把一個無理數表示成直角邊是兩個正整數的直角三角形的斜邊．
27．菱形的判定
①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等＝菱形）；
②四條邊都相等的四邊形是菱形．
幾何語言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四邊形ABCD是菱形；
③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．
幾何語言：∵AC⊥BD，四邊形ABCD是平行四邊形∴平行四邊形ABCD是菱形
28．圓周角定理
（1）圓周角的定義：頂點在圓上，並且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．
注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．
（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等於這條弧所對的圓心角的一半．
推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
（3）在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圓周角和圓心角的轉化可通過作圓的半徑構造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關係進行轉化．②圓周角和圓周角的轉化可利用其“橋樑”﹣﹣﹣圓心角轉化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．
29．切線的性質
（1）切線的性質
①圓的切線垂直於經過切點的半徑．
②經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點．
③經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心．
（2）切線的性質可總結如下：
如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那麼它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直．
（3）切線性質的運用
由定理可知，若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關係．簡記作：見切點，連半徑，見垂直．
30．作圖—複雜作圖
複雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．
解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把複雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
31．幾何變換的類型
（1）平移變換：在平移變換下，對應線段平行且相等．兩對應點連線段與給定的有向線段平行（共線）且相等． （2）軸對稱變換：在軸對稱變換下，對應線段相等，對應直線（段）或者平行，或者交於對稱軸，且這兩條直線的夾角被對稱軸平分． （3）旋轉變換：在旋轉變換下，對應線段相等，對應直線的夾角等於旋轉角． （4）位似變換：在位似變換下，一對位似對應點與位似中心共線；一條線上的點變到一條線上，且保持順序，即共線點變為共線點，共點線變為共點線；對應線段的比等於位似比的絕對值，對應圖形面積的比等於位似比的平方；不經過位似中心的對應線段平行，即一直線變為與它平行的直線；任何兩條直線的平行、相交位置關係保持不變；圓變為圓，且兩圓心為對應點；兩對應圓相切時切點為位似中心．
32．相似三角形的判定與性質
（1）相似三角形相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對應邊的比相等和對應角相等兩方面下定義；反過來，兩個三角形相似也有對應角相等，對應邊的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；或依據基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運用，都要具備應有的條件方可．
33．解直角三角形的應用-仰角俯角問題
（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．
（2）解決此類問題要了解角之間的關係，找到與已知和未知相關聯的直角三角形，當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構造直角三角形，另當問題以一個實際問題的形式給出時，要善於讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關係問題加以解決．
34．用樣本估計總體
用樣本估計總體是統計的基本思想．
1、用樣本的頻率分佈估計總體分佈：
從一個總體得到一個包含大量數據的樣本，我們很難從一個個數字中直接看出樣本所包含的信息．這時，我們用頻率分佈直方圖來表示相應樣本的頻率分佈，從而去估計總體的分佈情況．
2、用樣本的數字特徵估計總體的數字特徵（主要數據有眾數、中位數、平均數、標準差與方差 ）．
一般來說，用樣本去估計總體時，樣本越具有代表性、容量越大，這時對總體的估計也就越精確．
35．方差
（1）方差：一組數據中各數據與它們的平均數的差的平方的平均數，叫做這組數據的方差．
（2）用“先平均，再求差，然後平方，最後再平均”得到的結果表示一組數據偏離平均值的情況，這個結果叫方差，通常用s2來表示，計算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可簡單記憶為“方差等於差方的平均數”）
（3）方差是反映一組數據的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好．
36．列表法與樹狀圖法
（1）當試驗中存在兩個元素且出現的所有可能的結果較多時，我們常用列表的方式，列出所有可能的結果，再求出概率．
（2）列表的目的在於不重不漏地列舉出所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，求出概率．
（3）列舉法（樹形圖法）求概率的關鍵在於列舉出所有可能的結果，列表法是一種，但當一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常採用樹形圖．
（4）樹形圖列舉法一般是選擇一個元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹的枝丫形式，最末端的枝丫個數就是總的可能的結果n．
（5）當有兩個元素時，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉．
2019江蘇省南京市中考數學試題答案
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