- 帕斯卡三角形的前6行
帕斯卡三角形的美妙之處在於它既簡單又富有數學意義。這是數學上的一個新奇之處，它突出了我們所設計的這個邏輯系統是多麼的與眾不同。
讓我們開始吧！
你可能不知道的10個隱藏在帕斯卡的三角形裡的秘密。
首先，如何建立帕斯卡三角形在紙的頂部中間寫上數字“1”。在下一行寫兩個1，形成一個三角形。在隨後的每一行中，以1開頭和結尾，並通過將其上的兩個數字相加來計算每個內部項。
秘密#1:隱藏的序列
注意：我已經左對齊三角形來幫助我們看到這些隱藏的序列。
- 左對齊的帕斯卡三角形
前兩行不是很有趣，它們只是1和自然數。
下一列是三角數。你可以把三角數量想象成製作各種大小的三角形所需要的點的數量。如下圖所示：
類似地，第四列是四面體數。正如它們的名字所暗示的那樣，它們代表了用三角形基底做四面體所需要的點的數量。
這些列以這種方式延續，稱為“單形”，它將這個三角形/四面體的思想外推到任意維度。下一列是5個單形數，然後是6個單形數，依此類推。對高維感興趣的朋友可以閱讀我的高維繫列：
秘密#2:2的冪
如果我們對每一行求和，我們將從2^= 1開始獲得以2為底的冪。
- 對行求和就得到以2為底的冪
秘密#3:11的冪
帕斯卡三角形還顯示了底數為11的乘方。你所要做的就是把每一行的數字簡單地組合一起。這對於前5行來說很簡單，但第六行的時候出現了兩位數，怎麼處理？很簡單！你要做的就是把十位移到左邊的數上，如下圖所示：
秘密#4:完全平方
- 4的平方是6+10
我們可以通過將一個數的“右邊的數字與右邊數字下面的數字”相加，得到這個數的平方數。
例如,
- 2^2→1 + 3 = 4
- 3^→3 + 6
- 4^2→6 + 10 = 16等等……
秘密#5:斐波那契數列
為了找出隱藏的斐波那契數列，我們左對齊帕斯卡三角形，然後對下圖所示的對角線求和。
- 斐波那契數列的前7個數字:1、1、2、3、5、8、13，在帕斯卡三角形中找到
秘密#6:謝爾賓斯基
使用帕斯卡三角形的原始方向，把所有奇數著色，你會得到一個看起來像著名的分形
謝爾賓斯基三角形。
秘密# 7:組合
也許帕斯卡三角形中發現的最有趣的關係是我們如何使用它來找到組合數。
回想一下組合數學公式從n中選k：
- 組合公式
- 排列公式
我們發現在帕斯卡三角形的每一行中，n是行號（以0為開頭），k是這一行從左到右的編號（以0位開頭），如下圖：
- 帕斯卡三角形的前6行用組合符號表示
如果你想知道帕斯卡三角形地5行第3列的數字，那麼我們計算的是4選2的組合，為6！
秘密#8:展開二項式
假設有一個二項式(x + y)，在它的冪為2或3的時候，如果想要展開這個二項式。通常情況下，你需要一個繁瑣的乘法過程，但是有了帕斯卡三角形，你就可以避免這個麻煩，直接跳到答案！
- 二項式乘法的標準方法
例如，讓我們展開(x + y)^3。因為我們求的是(x+y)的3次方，所以用帕斯卡第4行中的值作為展開的係數。然後填寫下面列出的x和y項。
- 注意：每一項的指數都是(x+y)的幾次方
秘密#9:二項式定理
(x+y)的乘方很酷，但我們不會經常遇到這種問題。如果我們能把上一節的思想概括成一種更實用的形式，豈不是很方便?
這就是二項式定理
- 二項式定理
不要讓符號嚇著你。這與我們在上一節中所做的類似。理解任何公式的最好方法是舉個例子。讓我們檢驗一下(2x - 3)^3：
讓公式中的x是第一項，y是第二項。然後x=2x, y= -3, n=3 k是從0到n=3的整數，在這種情況下k={0, 1, 2, 3}。首先，我將填充公式使用所有以上值，除了k：
它看起來還是有點奇怪，但我們離答案越來越近了。
接下來填寫k的值。回想一下，k有4個值，所以我們需要填寫4個不同的數值並將它們加在一起。
計算其餘的指數項：
我們已經知道組合數來自帕斯卡三角形，所以我們可以簡單地查找第4行並分別代入值1、3、3、1：
完成乘法和化簡：
有了二項式定理，你就可以把任何二項式的冪提升到任意次冪，而不需要把這些項相乘——這是一個非常方便的工具！
秘秘#10:二項分佈
二項分佈描述了一種基於實驗得出兩種可能結果的概率分佈。最經典的例子就是拋硬幣。
假設我們對擲硬幣正面感興趣，我們稱正面向上的概率為p為“成功”，那麼硬幣反面向上就是“失敗”的情況，它的概率為1-p。
如果我們設計一個具有3次試驗的實驗，並且想知道拋正面的概率，則可以使用二項式分佈的概率質量函數（pmf），其中n是試驗次數，k是成功的次數，找到概率的分佈。
- 二項分佈的概率質量函數(pmf)
看起來很眼熟！它和我們之前在二項式定理中用到的公式幾乎是一樣的。
假設成功概率為0.5 (p=0.5)，讓我們來計算投擲0、1、2或3次正面的概率。
填入n=3, k= 0，1，2,，的方程，完成計算：
- 使用帕斯卡三角形中的組合數字：1,3,3,1
投擲0次或3次正面的概率都是12.5%，而投擲1次或2次正面的概率都是37.5%。
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