科特·哥德爾(1906-1978)在生命的最後階段對萊布尼茨(1646-1716)進行了深入的研究。哥德爾對萊布尼茨的痴迷達到了這樣一種程度，有人曾問哥德爾，“是誰會毀掉了萊布尼茨的作品？”哥德爾說：“自然是那些不希望人類變得更聰明的人！”。當他的朋友們建議他專注於自己的學習，而不是學習和閱讀萊布尼茨的作品時，他根本不會聽那些。哥德爾繼續追隨萊布尼茲的腳步，並像萊布尼茲一樣，給出了上帝的本體論證明。
- 德國哲學家、數學家萊布尼茨
在這篇文章中，我將參考萊布尼茨的作品和解釋，比如他的《通用表意文字》和《二進制數系統》，讓讀者瞭解他的部分作品，特別是與數學哲學有關的作品。最後，我將重點討論萊布尼茨在神學和形而上學框架內的數學角色。
通用表意文字
通用表意文字是萊布尼茨想象的正式的語言，能夠表達數學、科學和形而上學的概念。萊布尼茨因此希望創造一種通用邏輯計算語言。(維基百科，2019)
- 萊布尼茨的《通用表意文字》是他《推理學》一書的基礎
萊布尼茨意識到，政治或哲學的辯論和研究並不遵循數學方法。根據萊布尼茨的說法，數學家也可能像其他人一樣犯錯誤，但他們有一些工具來找出自己的錯誤。然而，哲學家沒有數學家那樣的工具，所以他們往往會犯更多的錯誤。
雖然哲學中有亞里士多德學派或柏拉圖學派，但數學中卻沒有歐幾里德學派或阿基米德學派——萊布尼茨
根據萊布尼茨的觀點，為了結束由感情而非正義主導的爭吵，有必要把這種想法用數學表示出來；為了使思想的一個重要部分形式化，數學中需要出現符號和規則。正如萊布尼茨在《通用表意文字》的序言中所解釋的那樣，“普遍特性”將揭示我們思維的字母表，分析基本概念，並以這些概念為基礎，以一種明確的方式來判斷一切事物。因此，主張兩種不同觀點的哲學家之間沒有必要發生衝突！
萊布尼茨的普遍特性思想是一種計算公式。這種思想是基於將基本的或不可約的思想與質數相匹配。每個基本思想都有一個數字的特徵：特徵數。讓我們引用萊布尼茨在其關於數值特徵樣本的文章中給出的一個例子。
假設我們有(13、5)和(8、7)兩對數字，它們分別表示“動物”和“理性”的基本概念，以回應“人是理性動物”這一命題。代表“人”概念的數字是([13*8]，[-5*7])=(104，-35)。根據這一思想，由於素數的數目是無限的，一個數或一對數可以分配給所有不可約的概念；因此，其他複合概念可以作為質數的乘積得到，並且可以映射整個語言。
二進制數字體系
二進制數系統在萊布尼茨之前就已為人所知，但萊布尼茨是第一個系統、成熟地記錄二進制數系統的人。在一封信中，萊布尼茨描述了他是如何處理萬物從無到有和二進制數字系統的問題的。這是萊布尼茨的神學與數學(甚至是物理)之間巧妙互動的一個例子，我將在後面提到。
萊布尼茨設計了一個金屬紀念章(硬幣)，它是關於創造和二進制系統的。這枚獎章有如下的表達方式：意象創造論(一幅創造的圖畫)、“無中生有”(為了無中生有，一件事是充分的)和“一件事是必要的”(只有一件事是需要的)。萊布尼茨遵循畢達哥拉斯學說，聲稱一切事物的起源或本質都是一個數。眾所周知，在二進制數系統中，所有的數都可以用0和1來表示。萊布尼茨把0解釋為“虛無”，把1解釋為“上帝”，他聲稱，二進制系統象徵著創造，因此一切都可以在這個體系中表達出來。對於萊布尼茨來說，一切都是0和1的混合物。所以萬有都是從一位神而來。
在萊布尼茨看來，二進制數字系統揭示了上帝創造的美。也就是說，二進制系統中的任何一個數字可能看起來都不漂亮，但是當它們被寫在另一個下面時，漂亮就會因為整個系統中的順序而出現。同樣的，這個世界上可能有我們不喜歡的東西，但當我們找到正確的視角，我們會發現它是完美的。
萊布尼茨的數字神秘主義並沒有就此結束；他還說了諸如“上帝喜歡奇數”之類的話。萊布尼茨說，創世後的第七天是一個完美”數字（二進制系統中的111），111代表三位一體。
現代概念證明
笛卡爾並不知道什麼是當代意義上的證明。萊布尼茨有一個更接近現代證明的想法。他認為笛卡爾的數學準確性與證據無關。對於笛卡爾來說，即使一件真實的事物沒有被證明，它本身也是真實的。因此，某物的真值與所給予的證明是不相關的。
- 勒奈·笛卡爾
讓我們回想一下，笛卡爾並不是在尋找證明，而是尋找能給出新的數學結果的使用方法。喚起現代證明概念的是萊布尼茨認識到證明的有效性不是因為它的內容，而是因為它的形式。如果我們回憶一下笛卡爾的方法，他在收集新信息時非常重視直覺，而在萊布尼茲的證明感知中，最重要的是找到我們所擁有的句子的“機械”證明。
萊布尼茨提出的證明思想可能受到了他那個時代思想的影響。習慣上是找到併除掉一個在每個時期深深地動搖了他的思想的人，萊布尼茨在當時扮演了這樣一個角色。
事實上，萊布尼茨本人對他所處時代的證明思想的出現給出了一個合理的解釋。如果用幾何來衡量精度，就很難得出現代證明的概念，這是因為幾何證明主要是基於它們的“內容”。這類證明的有效性取決於它們是否符合被研究的幾何對象的已知性質。通過笛卡爾的幾何代數化，開闢了將證明轉化為形式的途徑。
分析
當我們說“所有的人都活著”時，對於萊布尼茨來說，活著的概念是在人的概念之內，所以這種說法是分析性的。萊布尼茨認為，所有的數學真理都是分析型的。
伊曼努爾·康德通過努力改變萊布尼茨的現實概念，引入了分析與綜合的區別。康德認為，分析先驗知識是隻有運用邏輯才能獲得的信息。綜合先驗是利用時間和空間直覺獲得的信息。康德認為，算術和幾何是基於直覺的先驗綜合。在這裡，我們想強調的是，萊布尼茨關於分析的含義(儘管康德已經改變了這些含義)已經形成了一些邏輯學家的基本主張，比如弗雷格和羅素，他們在20世紀初試圖將所有的數學命題都歸結為邏輯。此外，萊布尼茨的“公理可以被證明”的思想很可能影響了邏輯學家。此外，萊布尼茨本人也試圖對數學證明中所使用的原理提供可靠的證明。
萊布尼茨的證明概念與分析概念是相輔相成的，因為在證明過程中，任何一個命題從另一個命題推導出來，都是與分析概念相對應的。
到目前為止，我們已經接觸了萊布尼茨關於數學的一些觀點。本文提出的問題之一是，萊布尼茨的數學方法不能從他的神學和形而上學或哲學的觀點區分。例如，我們在上面提到過，萊布尼茨不把二進制數系統理解為算術問題。正如佈雷格所引用的，對萊布尼茨來說，數學和神學就像通往上帝的梯子的臺階。要理解萊布尼茨，他認為數學、神學和形而上學之間的關係都是需要解決的問題。如此複雜的問題無法在這篇中詳細討論，我將只討論幾個問題來給讀者一個概念。
萊布尼茨希望他的數學成就能引起人們對他的哲學和神學思想的注意。畢竟，數學上的成就是堅強意志的標誌。萊布尼茨在個人層面上的這種“機會主義”是他所處時代社會層面上的另一種機會主義的反映。眾所周知，前往中國的基督教傳教士利用歐洲的數學成就來打動中國人，後來又將他們基督教化。事實上，萊布尼茨的通用表意文字是向不信仰上帝的人展示真相的最安全方法，因為它可以測量並像天平一樣準確。換句話說，傳教士用這種計算方法向非基督徒展示真理的事實將足以引導他們成為基督徒！
萊布尼茨用數字來描述普遍性是有其形而上學基礎的。萊布尼茨論述的信仰是“上帝根據一種度量衡、數字創造了萬物”，柏拉圖也表達了這一信仰。萊布尼茨認為：有些物體沒有重量，所以它們的重量無法稱量，有些物體沒有尺寸，所以它們的長度無法測量，但任何東西都可以計算。總之，數字是一切的本質。萊布尼茲認為，上帝是完美的數學家。創造的行為與“神聖的數學”一起發生。萊布尼茨在其著名的文章《萬物的終極起源》中說，萬物的起源是一種“形而上學的機制”或“神聖的數學”。世界上的一切事物都是按照一定的尺度和規律存在的，這些規律不僅是“幾何的”，而且是“形而上學的”。
對萊布尼茨來說，一個自由意志的世界，即使存在殘酷和邪惡，也比一個沒有殘酷、邪惡和自由意志的世界要好，就像《神論》和許多其他著作中提到的那樣。這是對上帝創造了一個充滿邪惡的世界的解釋。在所有可能的世界裡，為什麼上帝以這種方式創造了這個世界，而不是另一個方式？
對萊布尼茨來說，這是一個完美的世界！所以，作為一個完美的數學家，上帝計算了所有可能的世界，並創造了其中最好的。一個最好的例子是，獅子是危險的動物，但是如果沒有它們，這個世界將不那麼完美。此外，我們對這個世界的福祉的評估僅限於我們迄今所知和經歷的事件。然而，上帝選擇了這個最完美的世界，考慮了所有的時間和所有的造物。萊布尼茨在這方面給出的另一個例子是，一個出生在監獄裡的人不能僅僅通過環顧四周來判斷整個世界是壞的。畢竟，對於萊布尼茨來說，個人只看到了某一部分，而上帝通過考慮一切來決定。
萊布尼茨令人眼花繚亂的“宇宙”計劃從未實現過。推崇萊布尼茨的哥德爾證明了這個缺陷定理，並指出，諸如“普遍特性”(characteristica universalis)這樣的程序註定要失敗，不僅是在哲學上，甚至在數學上也是如此。
萊布尼茨的形而上學和神學部分地建立在數學層面上，這帶來了嚴重的問題。萊布尼茨在某種意義上把一切都簡化為計算。例如，他把上帝簡化成一個可以解決數學問題的計算器。這似乎是自相矛盾的，但很明顯，這樣的上帝在沒有數學解決方案的事情上沒有發言權。萊布尼茲說，在一些地方，甚至上帝也不能做永恆的工作。當他把上帝塑造成數學家時，萊布尼茨明白，即使上帝也無法勝任數學家所能勝任的工作。比方說，上帝不能執行無限次運算，但他可以看到結果。
從我們目前所寫的內容來看，數學在萊布尼茨的思想中佔有重要的地位。在他看來，數學家必須是哲學家，正如哲學家應該是數學家一樣。萊布尼茨指出，他的形而上學是數學的，可以用數學來寫。此外，根據萊布尼茨的觀點，數學與邏輯非常接近，是創造新發明的藝術，而形而上學與此無異。
萊布尼茲說:“我是一個哲學家，但首先是一個神學家。”今天，如果有人想要理解萊布尼茨的哲學，他們仍然會遇到一個主要問題，萊布尼茨作品中數學與哲學、形而上學與神學的關係。
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