科特·哥德尔(1906-1978)在生命的最后阶段对莱布尼茨(1646-1716)进行了深入的研究。哥德尔对莱布尼茨的痴迷达到了这样一种程度，有人曾问哥德尔，“是谁会毁掉了莱布尼茨的作品？”哥德尔说：“自然是那些不希望人类变得更聪明的人！”。当他的朋友们建议他专注于自己的学习，而不是学习和阅读莱布尼茨的作品时，他根本不会听那些。哥德尔继续追随莱布尼兹的脚步，并像莱布尼兹一样，给出了上帝的本体论证明。
- 德国哲学家、数学家莱布尼茨
在这篇文章中，我将参考莱布尼茨的作品和解释，比如他的《通用表意文字》和《二进制数系统》，让读者了解他的部分作品，特别是与数学哲学有关的作品。最后，我将重点讨论莱布尼茨在神学和形而上学框架内的数学角色。
通用表意文字
通用表意文字是莱布尼茨想象的正式的语言，能够表达数学、科学和形而上学的概念。莱布尼茨因此希望创造一种通用逻辑计算语言。(维基百科，2019)
- 莱布尼茨的《通用表意文字》是他《推理学》一书的基础
莱布尼茨意识到，政治或哲学的辩论和研究并不遵循数学方法。根据莱布尼茨的说法，数学家也可能像其他人一样犯错误，但他们有一些工具来找出自己的错误。然而，哲学家没有数学家那样的工具，所以他们往往会犯更多的错误。
虽然哲学中有亚里士多德学派或柏拉图学派，但数学中却没有欧几里德学派或阿基米德学派——莱布尼茨
根据莱布尼茨的观点，为了结束由感情而非正义主导的争吵，有必要把这种想法用数学表示出来；为了使思想的一个重要部分形式化，数学中需要出现符号和规则。正如莱布尼茨在《通用表意文字》的序言中所解释的那样，“普遍特性”将揭示我们思维的字母表，分析基本概念，并以这些概念为基础，以一种明确的方式来判断一切事物。因此，主张两种不同观点的哲学家之间没有必要发生冲突！
莱布尼茨的普遍特性思想是一种计算公式。这种思想是基于将基本的或不可约的思想与质数相匹配。每个基本思想都有一个数字的特征：特征数。让我们引用莱布尼茨在其关于数值特征样本的文章中给出的一个例子。
假设我们有(13、5)和(8、7)两对数字，它们分别表示“动物”和“理性”的基本概念，以回应“人是理性动物”这一命题。代表“人”概念的数字是([13*8]，[-5*7])=(104，-35)。根据这一思想，由于素数的数目是无限的，一个数或一对数可以分配给所有不可约的概念；因此，其他复合概念可以作为质数的乘积得到，并且可以映射整个语言。
二进制数字体系
二进制数系统在莱布尼茨之前就已为人所知，但莱布尼茨是第一个系统、成熟地记录二进制数系统的人。在一封信中，莱布尼茨描述了他是如何处理万物从无到有和二进制数字系统的问题的。这是莱布尼茨的神学与数学(甚至是物理)之间巧妙互动的一个例子，我将在后面提到。
莱布尼茨设计了一个金属纪念章(硬币)，它是关于创造和二进制系统的。这枚奖章有如下的表达方式：意象创造论(一幅创造的图画)、“无中生有”(为了无中生有，一件事是充分的)和“一件事是必要的”(只有一件事是需要的)。莱布尼茨遵循毕达哥拉斯学说，声称一切事物的起源或本质都是一个数。众所周知，在二进制数系统中，所有的数都可以用0和1来表示。莱布尼茨把0解释为“虚无”，把1解释为“上帝”，他声称，二进制系统象征着创造，因此一切都可以在这个体系中表达出来。对于莱布尼茨来说，一切都是0和1的混合物。所以万有都是从一位神而来。
在莱布尼茨看来，二进制数字系统揭示了上帝创造的美。也就是说，二进制系统中的任何一个数字可能看起来都不漂亮，但是当它们被写在另一个下面时，漂亮就会因为整个系统中的顺序而出现。同样的，这个世界上可能有我们不喜欢的东西，但当我们找到正确的视角，我们会发现它是完美的。
莱布尼茨的数字神秘主义并没有就此结束；他还说了诸如“上帝喜欢奇数”之类的话。莱布尼茨说，创世后的第七天是一个完美”数字（二进制系统中的111），111代表三位一体。
现代概念证明
笛卡尔并不知道什么是当代意义上的证明。莱布尼茨有一个更接近现代证明的想法。他认为笛卡尔的数学准确性与证据无关。对于笛卡尔来说，即使一件真实的事物没有被证明，它本身也是真实的。因此，某物的真值与所给予的证明是不相关的。
- 勒奈·笛卡尔
让我们回想一下，笛卡尔并不是在寻找证明，而是寻找能给出新的数学结果的使用方法。唤起现代证明概念的是莱布尼茨认识到证明的有效性不是因为它的内容，而是因为它的形式。如果我们回忆一下笛卡尔的方法，他在收集新信息时非常重视直觉，而在莱布尼兹的证明感知中，最重要的是找到我们所拥有的句子的“机械”证明。
莱布尼茨提出的证明思想可能受到了他那个时代思想的影响。习惯上是找到并除掉一个在每个时期深深地动摇了他的思想的人，莱布尼茨在当时扮演了这样一个角色。
事实上，莱布尼茨本人对他所处时代的证明思想的出现给出了一个合理的解释。如果用几何来衡量精度，就很难得出现代证明的概念，这是因为几何证明主要是基于它们的“内容”。这类证明的有效性取决于它们是否符合被研究的几何对象的已知性质。通过笛卡尔的几何代数化，开辟了将证明转化为形式的途径。
分析
当我们说“所有的人都活着”时，对于莱布尼茨来说，活着的概念是在人的概念之内，所以这种说法是分析性的。莱布尼茨认为，所有的数学真理都是分析型的。
伊曼努尔·康德通过努力改变莱布尼茨的现实概念，引入了分析与综合的区别。康德认为，分析先验知识是只有运用逻辑才能获得的信息。综合先验是利用时间和空间直觉获得的信息。康德认为，算术和几何是基于直觉的先验综合。在这里，我们想强调的是，莱布尼茨关于分析的含义(尽管康德已经改变了这些含义)已经形成了一些逻辑学家的基本主张，比如弗雷格和罗素，他们在20世纪初试图将所有的数学命题都归结为逻辑。此外，莱布尼茨的“公理可以被证明”的思想很可能影响了逻辑学家。此外，莱布尼茨本人也试图对数学证明中所使用的原理提供可靠的证明。
莱布尼茨的证明概念与分析概念是相辅相成的，因为在证明过程中，任何一个命题从另一个命题推导出来，都是与分析概念相对应的。
到目前为止，我们已经接触了莱布尼茨关于数学的一些观点。本文提出的问题之一是，莱布尼茨的数学方法不能从他的神学和形而上学或哲学的观点区分。例如，我们在上面提到过，莱布尼茨不把二进制数系统理解为算术问题。正如布雷格所引用的，对莱布尼茨来说，数学和神学就像通往上帝的梯子的台阶。要理解莱布尼茨，他认为数学、神学和形而上学之间的关系都是需要解决的问题。如此复杂的问题无法在这篇中详细讨论，我将只讨论几个问题来给读者一个概念。
莱布尼茨希望他的数学成就能引起人们对他的哲学和神学思想的注意。毕竟，数学上的成就是坚强意志的标志。莱布尼茨在个人层面上的这种“机会主义”是他所处时代社会层面上的另一种机会主义的反映。众所周知，前往中国的基督教传教士利用欧洲的数学成就来打动中国人，后来又将他们基督教化。事实上，莱布尼茨的通用表意文字是向不信仰上帝的人展示真相的最安全方法，因为它可以测量并像天平一样准确。换句话说，传教士用这种计算方法向非基督徒展示真理的事实将足以引导他们成为基督徒！
莱布尼茨用数字来描述普遍性是有其形而上学基础的。莱布尼茨论述的信仰是“上帝根据一种度量衡、数字创造了万物”，柏拉图也表达了这一信仰。莱布尼茨认为：有些物体没有重量，所以它们的重量无法称量，有些物体没有尺寸，所以它们的长度无法测量，但任何东西都可以计算。总之，数字是一切的本质。莱布尼兹认为，上帝是完美的数学家。创造的行为与“神圣的数学”一起发生。莱布尼茨在其著名的文章《万物的终极起源》中说，万物的起源是一种“形而上学的机制”或“神圣的数学”。世界上的一切事物都是按照一定的尺度和规律存在的，这些规律不仅是“几何的”，而且是“形而上学的”。
对莱布尼茨来说，一个自由意志的世界，即使存在残酷和邪恶，也比一个没有残酷、邪恶和自由意志的世界要好，就像《神论》和许多其他著作中提到的那样。这是对上帝创造了一个充满邪恶的世界的解释。在所有可能的世界里，为什么上帝以这种方式创造了这个世界，而不是另一个方式？
对莱布尼茨来说，这是一个完美的世界！所以，作为一个完美的数学家，上帝计算了所有可能的世界，并创造了其中最好的。一个最好的例子是，狮子是危险的动物，但是如果没有它们，这个世界将不那么完美。此外，我们对这个世界的福祉的评估仅限于我们迄今所知和经历的事件。然而，上帝选择了这个最完美的世界，考虑了所有的时间和所有的造物。莱布尼茨在这方面给出的另一个例子是，一个出生在监狱里的人不能仅仅通过环顾四周来判断整个世界是坏的。毕竟，对于莱布尼茨来说，个人只看到了某一部分，而上帝通过考虑一切来决定。
莱布尼茨令人眼花缭乱的“宇宙”计划从未实现过。推崇莱布尼茨的哥德尔证明了这个缺陷定理，并指出，诸如“普遍特性”(characteristica universalis)这样的程序注定要失败，不仅是在哲学上，甚至在数学上也是如此。
莱布尼茨的形而上学和神学部分地建立在数学层面上，这带来了严重的问题。莱布尼茨在某种意义上把一切都简化为计算。例如，他把上帝简化成一个可以解决数学问题的计算器。这似乎是自相矛盾的，但很明显，这样的上帝在没有数学解决方案的事情上没有发言权。莱布尼兹说，在一些地方，甚至上帝也不能做永恒的工作。当他把上帝塑造成数学家时，莱布尼茨明白，即使上帝也无法胜任数学家所能胜任的工作。比方说，上帝不能执行无限次运算，但他可以看到结果。
从我们目前所写的内容来看，数学在莱布尼茨的思想中占有重要的地位。在他看来，数学家必须是哲学家，正如哲学家应该是数学家一样。莱布尼茨指出，他的形而上学是数学的，可以用数学来写。此外，根据莱布尼茨的观点，数学与逻辑非常接近，是创造新发明的艺术，而形而上学与此无异。
莱布尼兹说:“我是一个哲学家，但首先是一个神学家。”今天，如果有人想要理解莱布尼茨的哲学，他们仍然会遇到一个主要问题，莱布尼茨作品中数学与哲学、形而上学与神学的关系。
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