START
數學的世界裡奧秘無窮，怎樣才能一探究竟呢？走進第二課堂，和燁先生一起領略數學的奧妙吧！
一、全等三角形定義
1.能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。
2.能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。
二、全等三角形相關概念
對應頂點、對應邊和對應角
1.把兩個全等的三角形重合在一起，重合的頂點叫做對應頂點。
2.重合的邊叫對應邊。
3.重合的角叫對應角。
公共邊、公共角及對頂角
1.公共邊：兩個圖形公用的一條邊
2.公共角：兩個圖形共同擁有的角
3.對頂角：兩個角有一個共同的頂點並且一個角的兩邊是另一角兩邊的反向延長線。
4.等角的補角相等。
三、全等三角形的性質
全等三角形的對應邊相等，全等三角形對應角相等，周長相等，面積相同。
四、全等三角形的判定
1.三邊分別相等的兩個三角形全等。（“邊邊邊”或SSS）
例題展示：
如圖，已知ΔABC為等腰三角形，點D是底邊BC中點，求證ΔABD≌ΔACD.
證明：∵ΔABC為等腰三角形
∴AB＝AC
∵點D為底邊BC中點
∴BD＝CD
在ΔABD和ΔACD中
∵AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD（公共邊）
∴ΔABD≌ΔACD（SSS）
2.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形叫做全等三角形。（“邊角邊”或SAS）
例題展示：
如圖，已知AC∥BD且AC＝BD, BE＝CF , 求證AE＝DF.
證明：∵AC∥BD
∴∠ACE＝∠DBF（兩直線平行，內錯角相等。）
∵BE＝CF
∴BF＝CE
在ΔACE和ΔDBF中
∵AC＝BD
∠ACE＝∠DBF
BF＝CE
∴ΔACE≌ΔDBF（SAS）
∴AE＝DF
3.兩角相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等。（“角角邊”或AAS）
例題展示：
如圖，已知ΔABC中AD是∠BAC的平分線，過點D分別作邊AB、AC的垂線，垂足分別為點E、F。求證ΔAED≌ΔAFD.
證明：由題知DE⊥AB,DF⊥AC
則有∠AED＝∠AFD＝90º
∵AD是∠BAC的平分線
∴∠EAD＝∠FAD
在ΔAED和ΔAFD中
∵∠EAD＝∠FAD
∠DEA＝∠DFA＝90º
AD＝AD（公共邊）
∴ΔAED≌ΔAFD（AAS）
4.兩個角和它們的夾邊對應相等的兩三角形全等。（“角邊角”或ASA）
例題展示:
如圖，點B、F、C、E在一條直線上，FB＝CE,AB∥ED,AC∥FD,求證AB＝DE,AC＝DF.
證明：∵FB＝CE
∴BC＝EF
∵AB∥CE
∴∠ABC＝∠DEF（兩直線平行，內錯角相等）
同理 ∵AC∥FD
∴∠ACB＝∠DFE
在ΔABC和ΔDEF中
∵∠ABC＝∠DEF
BC＝EF
∠ACB＝∠DFE
∴ΔABC≌ΔDEF（ASA）
∴AB＝DE AC＝DF
5.直角三角形中，斜邊和一條直角邊對應相等的兩三角形全等。
例題展示：
如圖，在ΔABC中，AB＝AC,AD是高。求證：BD＝CD ∠BAD＝∠CAD
證明：∵AD是ΔABC的高
∴∠ADB＝∠ADC＝90º
∴ΔADB和ΔADC是直角三角形
在RtΔADB和RtΔADC中，
∵AB＝AC
AD＝AD
∴RtΔADB≌RtΔADC（HL）
∴BD＝CD ∠BAD＝∠CAD
6.角平分線定理與逆定理
1.定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。
2.逆定理：在角的內部,到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。
7.三線合一
(1) 定理內容
在等腰三角形中（前提），頂角的角平分線、底邊的中線、底邊的高線，三條線互相重合。
(2) 逆定理
若以上三條線有任意兩條重合，則該三角形一定是等腰三角形。
(3) 如何利用三角形全等證明“三線合一”
以底邊上的中線推底邊上的高線和頂角平分線為例——
已知ΔABC為等腰三角形，且AB＝AC，AD是底邊BC的中線，求證：（1）AC⊥BD （2）AD平分∠BAC
證明： ∵AB=AC
∴∠B=∠C
又∵BD=DC，AD=AD
∴△ADB≌△ADC
可得∠BAD=∠CAD
∠ADB＝∠ADC
∴AC⊥BD,AD平分∠BAC
今天給大家分享的全等三角形知識，都學會了嗎?
——燁先生第二課堂
閱讀更多 燁先生第二課堂 的文章
