"阿波羅尼斯圓模型"——中考最值專題（二）
【教學重難點】
1．阿氏圓（阿波羅尼斯圓）由來，模型識別
2．本質："兩定一動"型——係數不為1的最值問題處理
3．三步處理：①畫圓；②r上取半，連動點；③計算，連中點&定點即為所求
【模塊一 模型識別】
古希臘數學家阿波羅尼斯（約公元前262～190年），與、齊名．他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將的性質網羅殆盡，幾乎使後來研究者沒有插足的餘地．
阿波羅尼斯最早發現：若平面上兩定點A、B滿足
（k為定值且不等於1），則點P的軌跡是一個圓，後稱阿氏圓．
在初中的題目中往往利用逆向思維構造"母子型相似+兩點間線段最短"，解決帶係數兩線段之和的最值問題．觀察下面的圖形，當B在在圓上運動時，BA、BC的長在不斷的發生變化，但它們的比值卻始終保持不變．解決阿氏圓問題，首先要熟練掌握母子型相似三角形的性質和構造方法．如圖，在△ABC的邊AC上找一點D，使得
，則此時△ABD∽△ACB．
模型識別：
問題本質：
動感體驗：（幾何畫板）
【模塊二 最值計算】
【例1】
1．已知點A（4，0），B（4，4），點P在半徑為2的⊙O上運動，試求
的最小值．
2．已知∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半徑為2，P為圓上一動點．
（1）
的最小值為__________；
（2）
的最小值為 ．
3．已知⊙O半徑為2，AC、BD為切線，AC=2，BD=4，P為弧AB上一動點，試求
的最小值．
※4．如圖，△ABC中，∠ACB=45°，AC=8，BC=
，D是平面內一點，且CD=4，則AD+BD的最小值為 ．
【模塊三 二次函數綜合·壓軸】
【例2】
1．（2018·育才二診）已知：如圖1，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交於點A（－1，0），B（3，0）兩點，與y軸交於點C，點D為頂點．
（1）求拋物線解析式及點D的座標；
（2）若直線l過點D，P為直線l上的動點，當以A、B、P為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式；
（3）如圖2，E為OB的中點，將線段OE繞點O順時針旋轉得到OE'，旋轉角為α（0°＜α＜90°），連接E'B、E'C，當
取得最小值時，求直線E'B與拋物線的交點座標．
2．（2018·改編）如圖，拋物線
與直線AB交於A（－4，－4），B（0，4）兩點，直線AC：交y軸與點C，點E是直線AB上的動點，過點E作EF⊥x軸交AC於點F，交拋物線於點G．
（1）求拋物線
的表達式；
（2）連接GB、EO，當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的座標；
（3）①點H為y軸上一點，連接EH、FH，當點E運動到什麼位置時，以A、E、F、H為頂點的四邊形是矩形? 求出此時點E、H的座標；
②在①的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為⊙E上一動點，求：
的最小值．
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