2018年福建省中考數學試卷（B卷）
25．（14.00分）已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2），且拋物線上任意不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B，C，且B在C的左側，△ABC有一個內角為60°．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若MN與直線y=﹣2根號3x平行，且M，N位於直線BC的兩側，y1＞y2，解決以下問題：
①求證：BC平分∠MBN；
②求△MBC外心的縱座標的取值範圍．
【思路分析】
（1）由A的座標確定出c的值，根據已知不等式判斷出y1﹣y2＜0，可得出拋物線的增減性，確定出拋物線對稱軸為y軸，且開口向下，求出b的值，如圖1所示，可得三角形ABC為等邊三角形，確定出B的座標，代入拋物線解析式即可；
（2）①設出點M（x1，﹣x1^2+2），N（x2，﹣x2^2+2），由MN與已知直線平行，得到k值相同，表示出直線MN解析式，進而表示出ME，BE，NF，BF，求出tan∠MBE與tan∠NBF的值相等，進而得到BC為角平分線；
②三角形的外心即為三條垂直平分線的交點，得到y軸為BC的垂直平分線，設P為外心，利用勾股定理化簡PB^2=PM^2，確定出△MBC外心的縱座標的取值範圍即可．
怎麼樣？看完分析後有想法嗎？能自己試著先做一下嗎？
加油相信自己！
【答案解析】
解：（1）∵拋物線過點A（0，2），
∴c=2，
當x1＜x2＜0時，x1﹣x2＜0，由（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，得到y1﹣y2＜0，
∴當x＜0時，y隨x的增大而增大，
同理當x＞0時，y隨x的增大而減小，
∴拋物線的對稱軸為y軸，且開口向下，即b=0，
∵以O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線交於另兩點B，C，如圖1所示，
∴△ABC為等腰三角形，
∵△ABC中有一個角為60°，
∴△ABC為等邊三角形，且OC=OA=2，
設線段BC與y軸的交點為點D，則有BD=CD，且∠OBD=30°，
∴BD=OB•cos30°=根號3，OD=OB•sin30°=1，
∵B在C的左側，
∴B的座標為（﹣根號3，﹣1），
∵B點在拋物線上，且c=2，b=0，
∴3a+2=﹣1，
解得：a=﹣1，
則拋物線解析式為y=﹣x^2+2；
（2）①由（1）知，點M（x1，﹣x1^2+2），N（x2，﹣x2^2+2），
∵MN與直線y=﹣2根號3x平行，
∴設直線MN的解析式為y=﹣2根號3x+m，則有﹣x1^2+2=﹣2根號3x1+m，即m=﹣x1^2+2根號3x1+2，
∴直線MN解析式為y=﹣2根號3x﹣x1^2+2根號3x1+2，
把y=﹣2根號3x﹣x1^2+2根號3x1+2代入y=﹣x^2+2，解得：x=x1或x=2根號3﹣x1，
∴x2=2根號3﹣x1，即y2=﹣（2根號3﹣x1）^2+2=﹣x1^2+4根號3x1﹣10，
作ME⊥BC，NF⊥BC，垂足為E，F，如圖2所示，
∵M，N位於直線BC的兩側，且y1＞y2，則y2＜﹣1＜y1≤2，且﹣根號3＜x1＜x2，
∴ME=y1﹣（﹣1）=﹣x1^2+3，BE=x1﹣（﹣根號3）=x1+根號3，NF=﹣1﹣y2=x1^2﹣4根號3x1+9，BF=x2﹣（﹣根號3）=3根號3﹣x1，
在Rt△BEM中，tan∠MBE=ME/BE=-x1^2+根號3/(x1+根號3)=根號3﹣x1，
在Rt△BFN中，tan∠NBF=NF/BF=(x1^2-4根號3x1+9)/3根號3-x1=(x1-2根號3)^2-3/3根號3-x1=(x1-3根號3)(x1-根號3)/3根號3-x1=根號3﹣x1，
∵tan∠MBE=tan∠NBF，
∴∠MBE=∠NBF，
則BC平分∠MBN；
②∵y軸為BC的垂直平分線，
∴設△MBC的外心為P（0，y0），則PB=PM，即PB^2=PM^2，
根據勾股定理得：3+（y0+1）^2=x1^2+（y0﹣y1）^2，
∵x1^2=2﹣y2，
∴y02+2y0+4=（2﹣y1）+（y0﹣y1）^2，即y0=1/2y1﹣1，
由①得：﹣1＜y1≤2，
∴﹣3/2＜y0≤0，
則△MBC的外心的縱座標的取值範圍是﹣3/2＜y0≤0．
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