现有教材中有关‘氧垂曲线’图示的错误辨析
按：本文是2018年所写，发表在了笔者的微博和微信公众号上，但当时忘了在科学网博客上同时发布，今年在给研究生讲《环境系统分析》课的同时，才注意到这事，故而在科学网上把旧文重发出来（第二张图里新添加了一些内容）。
在水环境质量模型中，S-P模型是极为重要和基础的数学模型，有不少教科书都会给出一张与图1相同或类似的图示，以图解根据S-P模型绘制的溶解氧沿程变化曲线，即‘氧垂曲线’。
氧垂曲线图中有关‘氧垂曲线’的示意性图示本身并没有什么问题，然而，在该图示中，经常会附加画上两条曲线：耗氧曲线和复氧曲线，见图1。我认为，该图中的复氧曲线是错误的，至少存在严重问题，理由如下。
图1 现有不少教科书中的氧垂曲线图
在图1中，‘氧垂曲线’本身的示意图形基本没问题，其含义是：从刚投放耗氧污染物开始，随着流行时间（可等同于流行距离）的增加，水体中的溶解氧数值会出现先下降后上升的现象（通常是先快速下降后缓慢上升）。
耗氧曲线也基本没问题，其含义可以是两个：要么是耗氧污染物的浓度呈指数不断下降，要么是耗氧的速度呈指数不断下降（这二者的趋势是相同的，因为耗氧的速度正比于当前的耗氧污染物的浓度）。
问题出在复氧曲线上，即：究竟什么是复氧曲线？
从字面意思来说，复氧曲线的含义只能有两个：1）要么是随着流行时间（或流行距离）的延长，水体复氧的积分结果，2）要么是随着流行时间的延长，每一个时间点（其实是空间上的下游点位）所对应的复氧速度。
然而，在图1中，复氧曲线与这两种解释都不能匹配。
因为如果是前者1），即复氧的积分结果，那么该复氧曲线斜率最大处应该对应于tc时刻的流行时间（准确地说是在流行时间为tc的空间地点达到最大斜率），而不是图1中的那个位置（即近似为图1中复氧曲线上的标注了黑点的那个位置）。
如果是后者2），即是复氧速度的话，那么该复氧曲线的形态完全不应该是图1中的样子，而应是一条与氧垂曲线呈上下镜像对称的形态。
也就是说，真正的复氧曲线应要么是图2中的‘积分复氧曲线’，要么是‘复氧速度曲线’。
最后，从图中三条曲线物理含义的匹配性来说，应该是‘复氧速度曲线’为宜，因为另外两条曲线都是每个点位所对应的该指标的当前值，而不是该指标的沿途积分值。
导致图1中的复氧曲线错误的可能是：第一个绘制该曲线的作者，直观地将氧垂曲线减去耗氧曲线而得到所谓的‘复氧曲线’，并未对该曲线的真正含义进行深思，想当然地把这个结果当作了复氧曲线。因为，从图1中的数值来看，图中的复氧曲线在数值上的确基本等于图中的氧垂曲线与耗氧曲线之差。但事实上氧垂曲线与耗氧曲线之差并没有特殊的物理意义，更不是所谓的‘复氧曲线’。
后记：1、本文的核心内容是我在讲《环境系统分析》课程时所发现的问题，并多次在研究生课上向学生讲解和展开课堂辩论。2、关于这个问题的正确解答方式，我最早是在2012年11月17日想通和确认的，并在备课笔记上注明了时间（在课本上以标记的方式做的记录）。
钟定胜
2018.3.10
补充：准确地说，用氧垂曲线减耗氧曲线得到的结果并没有什么有意义的工程实用意义。要把这个相减的结果叫‘净需氧曲线’之类的也不合适，因为实际世界中，再洁净的自然地表水体里BOD（和COD）总是多少存在的。
2018-03-10 22:39:10
补充2：不论是图1还是图2，其中的所有曲线都只有示意性的意义，重在表达其沿途的变化趋势，而不是相互之间的绝对数值的比较。在绝对数值上，不同指标间的差异要大的多和复杂的多，甚至某些指标有可能是量纲都不同的（比如耗氧曲线如果是指耗氧速度的话）。此外，图二中的“积分复氧曲线”可能取名为“累积复氧曲线”更好。
2018-03-11 06:59:15
******以下是在科学网博客中的回复讨论，讨论中的内容对这个问题有更多的有益补充。
- [1]肖隆文 2020-4-25 21:05
- 复氧曲线，或者复氧速率物理意义很明确。溶解氧的回升速率实际上就是供氧速率与耗氧速率之间的补差。已经知道了溶氧曲线，又理论（一般用衰减率计算）计算了耗氧速率，那么供氧速率就可以用两者补差来表示。举个例子，饱和溶解氧是7，某点的溶解氧是3，耗氧速率是5，两者差值就是5-（7-3）。需要供氧速率就是1。
- 钟定胜 回复 肖隆文 ： 原文中我写得足够清楚了：“如果是前者1），即复氧的积分（累积）结果，那么该复氧曲线斜率最大处应该对应于tc时刻的流行时间（准确地说是在流行时间为tc的空间地点达到最大斜率），而不是图1中的那个位置（即近似为图1中复氧曲线上的标注了黑点的那个位置）”。“也就是说，真正的复氧曲线应要么是图2中的‘积分（累积）复氧曲线’，要么是‘复氧速度曲线’。”2020-4-25 22:581 楼（回复楼主）赞|回复
- 肖隆文 回复 钟定胜 ： 那个书上实验曲线是怎么来的？做实验，第一步，是制作饱和溶解氧的水。第二步，加入等当量的耗氧物质，（这也就是为什么耗氧曲线与溶解氧曲线在同一个点），第三步（对照），隔绝外界氧，测溶解氧变化，得到的是耗氧曲线。就是底下那根衰减线。第四步，重做第一步和第二步+启动搅拌。（区别于第三步对照），测溶解氧曲线，得到的是氧垂曲线。第五步，汇出第四步与第三步之差。也就是复氧曲线。2020-4-26 18:412 楼（回复 1 楼）赞|回复
- 钟定胜 回复 肖隆文 ： 用你说的这个方法的确可以较好地做出符合原始复氧曲线形式的实验结果来。但问题的根本在于：氧垂曲线这个图的真正本意是进行污染物降解和复氧过程的‘沿程变化’的过程，而不是完全混合反应器里的物质量的时间变化过程。更为准确地说，这个图是用来解释和讲解一维河段水质模型模拟过程的，不是用来解释和讲解完全混合反应器模型的。你所提供的这个解释是纯粹为了凑出它的曲线形式而去做那样的完全混合反应器实验的，是不适合用来解答一维河段水质模型的沿程变化过程的。2020-4-26 20:583 楼（回复 2 楼）赞|回复
- 钟定胜 回复 钟定胜 ： 而且，S-P模型是用来模拟和解释一维稳态排放源的耗氧和复氧的耦合过程的，而不是用来解释瞬时排放源的，更不是用来模拟和解释完全混合反应器模型中的瞬时排放源的。也就是说，这个图中所出现的问题的根源，所以和你所说的情形不是一回事。2020-4-26 21:044 楼（回复 3 楼）赞|回复
- 肖隆文 回复 钟定胜 ： SBR是时间序列可以等价为一维空间序列。2020-4-27 11:385 楼（回复 3 楼）赞|回复
- 钟定胜 回复 肖隆文 ： 问题的关键我已经在上面的回复中说得足够清楚了：S-P模型和复氧曲线是用来描述一维模型的，而不是完全混合的零维模型的。
要完全理解和说清这个问题，要深入到关于时间的那个问题里去，即：S-P模型和复氧曲线里的t是指流行时间，这个时间来自于dt=dx/Ux中的等效时间，而非基一维模型中的真正的dt（要真正用一维模型来求解这个问题的话，此时的一维模型中的dc/dt是等于0的，因为S-P模型模拟的是稳定排放源）。S-P模型容易导致对人们的这个误导的根源在于：S-P模型原本应该是采用dx来建立微分方程的，只是为了简化和便于理解才用dx/Ux后得到的流行时间来建立微分模型的。如果将S-P模型还原回dx/Ux的形式的话，这个问题才不会有任何歧义，但对于理解污染物的沿程降解过程和复氧过程又不是非常形象，因此才有了‘流行时间’的概念。2020-4-27 13:396 楼（回复 5 楼）赞|回复 - 钟定胜 回复 肖隆文 ： SBR工艺仍然是一个完全混合反应器，是属于零维模型或基于零维模型的分层箱式模型，而不是可以等价于一维模型。2020-4-27 13:427 楼（回复 5 楼）赞|回复
- 肖隆文 回复 钟定胜 ： 你越说我越糊涂。老了。
化学反应工程学的教科书里，明确指出：SBR等价于一维推流式反应器。只不过区别是一个是空间序列，一个是时间序列。2020-4-27 16:198 楼（回复 7 楼）赞|回复 - 钟定胜 回复 肖隆文 ： 需要时间 ，关于这个问题我也是前后想了好几遍，咀嚼过好长时间才敢下这个结论的呢。我是在讲《环境系统分析》这门课时，在非常仔细的消化咀嚼的备课过程中发现这个问题的，一开始只是在课堂上做为探讨和学生交流谈谈的，后来逐渐地完全确认这件事了。这学期正好在网络授课，关于这个问题我的讲课视频很快就可以看到了（等结课后我可能会详细地讲讲我对网络授课的感受体会，以及可能会发布我的所有讲课视频），这里面就有我对这个问题的非常详细的口头讲解，当然，最为详细的还是这篇文章里的文字论述，以及在和你的这些讨论中进一步地把有些更加细化和深入的要点给写出来了，所以还要谢谢肖老师的提问探讨呢[握手]。
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