「中考複習」圓與相似綜合題，設參表示相關線段是關鍵

在中考試題裡，有一類求線段的比值，或求線段長度的題目，在模擬複習期間，許多同學們感到非常困感，找不到方法，為此有必要講解一下此類題的常見解法，助力同學們中考時輕鬆破解此類題目。

【題目呈現】

☞1.如圖，PA是⊙O的切線，A是切點，AC是直徑，AB是弦，連接PB、PC，PC交AB於點E，且PA=PB.

(1)求證:PB是⊙O的切線;

(2)若∠APC=3∠BPC，求PE/CE的值.

【分析】(1)較易，可連接OP，OB，如圖:

證△OAP≌△OBP，得∠OBP=∠OAP=90°，從而得證.也可，利用OA=OB，PA=PB，推得∠OBP=∠OAP=90°，得證.

(2)同學們看見∠APC=3∠BPC這一條件感到困惑，與求PE/CE的值沒有辦法聯繫，求比值問題一般與相似進行聯繫，而條件中又沒有給出一個比值，用相似等量代換的方法又行不通，感覺"山重水複疑無路"，這時，我們不妨迴歸條件，仔細分析題目，尋找問題的突破口，看第(1)問的結論，能否得到某些有用的信息等，需要深入聯想，聯想書中的有關定理，聯想平時記憶的相關數學模型，這一過程正是同學們的薄弱環節，是學習數學的難點，數學難，難就難在這兒，這一過程突破了，學習數學也就不會太難了。我們平時要強化這一過程的訓練，讓思考成為一種習慣，提高駕馭數學知識的能力。就本題而言，PA，PB都是⊙O的切線，P為⊙O外一點，想到切線長定理，則∠APO=∠BPO，與條件∠APC=3∠BPC聯繫在一起，得出∠BPC=∠OPC，同時知道OP⊥AB，設F為垂足，由於AB為⊙O的直徑，連接CB，則∠ABC=90°，∴OP∥BC，可知△PEF∽△CEB，從而PE/CE=PF/BC，如圖:

接下來只須求PF/BC即可，這時又遇到了問題，但我們心中明白，這樣思考十有八九思考方向是正確的，那麼PF與BC又如何聯繫數量關係呢？一鼓作氣，趁興追擊，由上面的分析知BC=BP，F是AB的中點，OF是三角形ABC的中位線，BC=2OF，BP=2OF，在Rt△OBP中，直角邊BP與OF有了關係，我們想到了射影定理的模型，可知BP²=OP×PF，為了更簡單化一些，設OF=t，則BC=BP=2t，則(2t)²=PF(t+PF)，解得PF=(一1十√17)t/2(取正值)，這樣通過設參數t，列方程，成功地表示出線段PF，∴PE/CE=PF/BC=(√17一1)/4.【設參，一方面為了簡單，減輕大腦的負單，另一方面，為表示相關的線段】.

2.如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作圓O，分別交BC於點D，交CA的延長線於點E，過點D作DH⊥AC於點H，連接DE交線段OA於點F.

(1)求證:DH是圓O的切線;

(2)若A為EH的中點，求EF/FD的值;

(3)若EA=EF=1，求圓O的半徑.

【分析】(1)較易，連接OD，AD，如圖.

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，又AB=AC，∴D為BC的中點，則OD為△ABC的中位線，∴OD∥AC，且OD=AC/2，∴∠ODH=∠CHD=90°，∴DH是⊙O的切線.

(2)在⊙O中，∠E=∠B，又∠B=∠C，∴∠E=∠C，又DH⊥EC，∴EH=CH，∵A為EH的中點，可設EA=a，則AH=a，CH=2a，則AC=3a，由(1)知OD∥AC，OD=AC/2=3a/2，∴△FAE∽△FOD，∴EF/FD=EA/OD=a/(3a/2)=2/3.

(3)∵EA=EF=1，∴∠EFA=∠EAF，又∠EFA=∠BFD，∴∠BFD=∠EAF，而∠EAF=∠BDF，∴∠BFD=∠BDF，∴BF=BD，由(1)分析知ED=DC，∴BF=BD=ED=DC，∵OD∥AC，∴∠EAF=∠FOD，∵∠BFD=∠EAF，∴∠FOD=∠BFD，∴OD=FD，設⊙O半徑為r，則OD=FD=r，BD=BF=DC=DE=FD+EF=r+1，而BF=OB+OF=r+OF，∴OF=1，我們注意到△FOD∽△FDB，∴FD²=OF×BF，即r²=1×(1+r)，解得r=(1+√5)/2，(負值捨去)，∴⊙O的半徑為(1+√5)/2.

第二題相比第一題簡單一些，但第(3)問求出OF=1，用半徑r表示BF是關鍵的一環.

【總結】通過上邊的兩例看出，在進行線段求值的計算中，離不開列方程(可以用相似，三角函數，勾股定理，面積法等列出)，但設參，表示相關線段是最為關鍵的環節，望同學們用心體會。