初中數學60 配方法

在上期節目中，我們介紹了因式分解的常用辦法十字相乘法。這個十字相乘法呀，是解決二次三項式的一種常用辦法，然後最後我們也發現，雖然這種辦法很快，但是卻不能解決所有問題，那麼有沒有解決二次三項式分解的通用辦法呢？哎，還真有，這就是本期我們要為大家介紹的配方法。

什麼是配方法呢，配方法就是強行把一個題目中的二次項和一次項配成完全平方公式，然後再看我們多增加了什麼，把我們多增加出來的東西減去。比如：4x^2+12x-7，在這個算式中4x方可以看做(2x)的平方，12x，可以看成2*2X*3，這時候，如果常數項是9，那麼這就是一個很完美的完全平方公式了，但可惜，常數項是-7，那怎麼辦？缺少9，咱們就在原始中強加一個9，然後再減去它。於是原始變為(2x)^2+2*2X*3+9-9-7，前三項是一個完全平方公式，我們把它分解後，得到(2x+3)^2，後邊兒的-9和-7合併，得到-16，於是原式變為(2x+3)^2-16，16是4的平方，所以整個算式又可以看做平方差公式，於是原式變為(2x+3+4)(2x+3-4)，化簡得到最終結果是(2x+7)(2x-1)。

配方法是二次三項式的通用解決辦法，當我們處理這類問題的時候，有三個步驟，第一步，處理二次項係數，如果二次項係數是負的，通過對整個多項式提取負號，把它變成正的，確定是正的以後，求得二次項係數的平方根。當然，在二次三項式中，有可能含有兩個變量，對於兩個變量的情況，我們要只需要處理一個變量的平方項的係數，另一個變量可以當做常數項來看待。第二步、處理一次項係數，首先讓一次項係數中除以2，然後再除以剛才求解的平方根，最後得到的商，平方後就得到了我們要補的常數項，第三步，在多項式中增加這個常數項，配方後，再減去它。

下面我們再做一個例題：-9x^2+24xy-15y^2

在這個題目中存在兩個變量的平方項，而且都是負的，其中x方的係數9是一個平方數，所以我們就取x當做二次項，先把負號踢出去，整個式子變成了-（9x^2-24xy+15y^2）9是3的平方，這樣我們就得到了第一個係數，而後，我們開始看一次項係數，在這裡因為我們把y看成了常數項，所以24xy就是一次項，24就是一次項係數，我們把它除以2，得到12，再除以剛才得到的平方根3，得到4,把4平方以後可以得到16，因為我們把y看成了常數項， 所以我們應該增加的是16y^2，然後我們再減去一個16y方即可。於是原始變為負的（9x^2-24xy+16y^2-16y^2+15y^2）前三項是完全平方公式，分解後得到（3x-4y）^2，後兩項合併後得到-y^2，於是我們又得到一個平方差公式，分解後得到-(3x-4y+y)(3x-4y-y)，化簡後得到-(3x-3y)(3x-5y)，把3提取到公因式以外，並把負號消去，得到3(y-x)(3x-5y)。

接下來，我們求解一下昨天的那個問題吧：x^2+10x+18，我們一看這個二次項係數沒有，一次項係數是10，分一半兒下來是5，5的平方就是25，所以，我們就可以給這個前面兩個算式配上一個25，然後在減去它，這樣就得到x^2+10x+25-25+18，前邊兒三項配成(x+5)的平方，後面兒的-25和+18合併，得到-7，化簡後是(x+5)^2-7那你說這也不是平方差公式呀，這7它是什麼的平方呀，哎，你忘了呀，它是根號7的平方呀，所以結果就是(x+5+根號7)(x+5-根號7)，怎麼樣，瞅著彆扭吧，哎，要是不彆扭的話，咱們就不就能用十字相乘去解它了呀。

那麼，截止目前為止，二次式的問題都解決了嗎？讓我們分類討論一下，首先咱們看看最簡單的二次式是什麼樣兒的？那就是x方唄，就一個算式，它不需要咱們分解因式。所以不在討論範圍之內，然後稍微複雜點兒的呢？

我們就給x方再加一項：先加個一次項，比方說ax^2+bx，在這種情況下，只要把x提取公因式出去就可以了。但是如果它沒有一次項只有一個常數項呢？比如x^2減幾，這個很簡單，就是平方差公式嗎，把後邊兒的數字兒加個根號開方，就變成了x加根號幾乘以 x減根號幾。但是如果x也有係數怎麼辦，比方說3x方-12，嗨，那咱就把x前面的係數提取公因式扔到前邊兒就行了唄，變成3(x^2-4)，它不就又成了平方差公式了嗎？那你說，如果不能整除呢，比方說3x^2-2，哎，在這種情況下，咱給她乘上一個係數呀，變成9x^2-6，然後咱不能給人家白乘一個3，再讓它乘個三分之一不久完了嗎？然後9x^2就可以認為是(3x)^2了，照樣符合平方差公式。

不過這裡邊兒咱們就要注意一個問題了，什麼問題呢，那就是二次項它必須減去一個數兒才能湊成平方差公式，它要是加一個數呢，比方說x^2+5，還能因式分解嗎？不能！這個問題呀，其實就是二次項能不能分解因式的基本條件，當我們在用配方法的時候，同樣可能會遇到這個問題，一個算式的平方加上一個常數，這種情況是無解的。

說完了兩項的情況，咱們在說三項的情況？如果是x^2+px+q這種形式，如果它符合完全平方公式，那當然好了， 咱們就不用費勁了，但是如果它不符合呢，我們就可以給x^2和px生配出一個常數項來，讓它們變成一個完全平方公式，配出來的數是多少呀，肯定是p的一半兒的平方呀，然後公式就變成了(x+p/2)^2+q-(p/2)^2，哎，這個時候我們就要注意了，如果這個常數項q-(p/2)^2它是小於0的，就符合完全平方公式，可以繼續分解，如果它大於0呀，那就分解不了了。也就是說p方大於4q，一次項的平方要大於4倍的常數項。注意，這指的是在二次項是1的條件下，那如果這個二次項有係數怎麼辦呢？很簡單，也是把這個係數當做公因式提取出去呀。

好的總結一下，本節我們講了分解二次三項式常用的配方法，配方的關鍵在於根據二次項係數和一次項係數求得合適的常數項。講完了配方法，因式分解的內容我們就講完了。字後我們要再次提醒大家的是，因式分解的複雜度遠遠高於多項式乘法，大家一定要在反覆的練習當中積累經驗。好的，今天的節目就是這樣，感謝您的收聽，我們明天再見。