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8年考题精选
参考答案
精典题目解析
一、选择题
2. C.解析 当2不为腰时，a=b,由一元二次方程根与系数的关系可得a+b=6，所以a=b=3,ab=9=n-1,解得n=10,当2为腰时，a=2（或b=2）,此时2+b=6（或a+2=6），解得b=4(a=4),所以ab=2×4=8=n-1，解得n=9,所以n为9或10.
3. 分析由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．点评本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合（x1﹣x 2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，求出k的值是解题的关键．
4. 分析利用一元二次方程根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝m，再化简+＝，代入即可求解；解答解：α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，∴α+β＝2，αβ＝m，故选：B．点评本题考查一元二次方程；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
5. 分析先利用一元二次方程的解的定义得到，则，接着利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．点评本题考查了根与系数的关系．
6. 分析设x1，x2是x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根，由根与系数的关系得x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2+m，再由x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2代入即可；解答解：设x1，x2是x 2+2mx+m2+m＝0的两个实数根，∴△＝﹣4m≥0，∴m≤0，∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2+m，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝4m2﹣2m2﹣2m＝2m2﹣2m＝12，∴m＝3或
m＝﹣2；∴m＝﹣2；故选：A．点评本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
7. 分析利用完全平方公式计算出，然后根据根与系数的关系写出以，为根的一元二次方程．点评本题考查了根与系数的关系．
8. 解答解：a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab﹣3，∴a2﹣b+2019＝a2﹣3+b 2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016＝1+6+2016＝2023；故选：A．
9. 分析根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算的值．点评本题考查了根与系数的关系．
二、填空题
11. 分析：由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．
12. 分析设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根．由方程有实数根以及两根之积为负可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．解答解：设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根，点评本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的情况结合根的判别式以及根与系数的关系得出关于m的一元一次不等式组是关键．
13. 分析若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．解答解：∵关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，∴△=4﹣8（m﹣5）≥0，且m﹣5≠0，解得m≤5.5，且m≠5，则m的最大整数解是m=4．故答案为：m=4．
14. 分析由抛物线与x轴只有一个交点，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．解答解：∵函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，∴△=22﹣4×1×（﹣m）=0，解得：m=﹣1．故答案为：﹣1．
15. 分析根据根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定
k值，此题得解。点评本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，求出k值是解题的关键．
16. 分析设方程的另一个根为，再根据根与系数的关系即可得出结论．点评本题考查的是根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键．
17. 分析根据根与系数的关系可得出a+b＝﹣1，ab＝﹣2019，将其代入（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1中即可得出结论．解答解：∵a 、b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2019，∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2019+1+1＝﹣2017．故答案为：﹣2017．点评本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
18. 分析根据根与系数的关系变形后求解．点评本题考查了一元二次方程的根与系数的关系。
三、计算题
19. 分析（1）根据一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根得到△＝（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0，求出k的取值范围即可；（2）根据根与系数的关系得出方程解答即可．解答（1）解：∵原方程有实数根，∴b2﹣4ac≥0∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0∴k≤1（2）∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系， x1+x2 ＝2，x1 •x2 ＝2
k﹣1.又∵+＝x1•x2，∴（x1+x2）2﹣2x1 x2 ＝（x1 •x2）2 ∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2解之得。点评本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大．
20. 分析（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）由根与系数的关系可得出x1+x2＝6，x 1x2＝4m+1，结合|x1﹣x2|＝4可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．解答解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2．（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）＝0的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2＝6，x1x2＝4
m+1，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16，解得：m＝1．点评本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x1﹣x2|＝4，找出关于m的一元一次方程．
21. 分析（1）根据根的判别式，可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围；（2）由根与系数的关系，用a表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于a的不等式，则可求得
a的取值范围，再求其值即可．点评本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．
22. 分析①根据“关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的不等式，解之即可，②根据“x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17＝0”，结合根与系数的关系，列出关于m的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案．点评本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：①正确掌握判别式公式，②正确掌握根与系数的关系．
四、应用题
26. 考点根的判别式．分析（1）化成一般形式，求根的判别式，当△＞0时，方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系的关系求出两根和与两根积，再把变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p的一元二次方程，解方程．
点评本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意熟记以下知识点：（1）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．（2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根分别为x1，x2。
五、复合题
27. 考点AB：根与系数的关系；AA：根的判别式．分析（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=（t﹣3）2≥0，由此可证出：对于任意实数t，方程都有实数根；（2）设方程的两根分别为m、n，由方程的两根为相反数结合根与系数的关系，即可得出m+n=t﹣1=0，解之即可得出结论。
28. 试题分析：（1）利用两个不相等的实数根得△>0，求出k＞ （2）先判断x1、x2都是正数，再利用根与系数关系列方程求k试题解析：（1）∵方程有两个不相等的实数根.∵△>0所以存在且k=4.考点：1、一元二次方程，2、根的判别式，3、根与系数关系。
