很多人都是從數字開始逐漸積累起對於數學這門學科巨大的興趣的，
如果你格外再有毅力一些，有天賦一些，甚至更幸運一些，是有可能走上數學家的道路的。以數學為終身奮鬥的目標，盡情地在數學的海洋裡遊歷。
數海遨遊
從1,2,3...開啟了我們的數學旅途。很快我們發現了各種各樣的數字，有素數，完全數，相親數，立方數，三角數等等，無窮無盡。如果對數學發展再瞭解多一點，你就會發現，在這些有一種非常頑固的數字，說它頑固，是因為人們研究它們幾千年，卻仍然知之甚少。它們就靜靜地躺在自然數的海洋裡，你發現它，它就在，你沒有找到它，它就一直沉匿著。
一般情況下，我們研究一些數字，那就會想方設法找到它們的規律，比如它在某種計算情況下會出現，或者它有些奇妙的性質，可以在某些生活場合中體現出來。比如斐波那契數列，遞推關係如此簡單，但是這個數列中蘊含的奧秘，一千多年來從未停止發現。以至於有專門的機構出版了《斐波那契季刊》，時時更新關於這個數列的最新研究，五十多年多去了也從未停刊。
素數——數學界永久的謎
研究某一種數，最最直接的方法就是找出這種數的公式表示方法，有了通項公式，一切的研究就顯得水到渠成。研究一個公式，總比在汪洋數海里摸索容易得多吧。鑑於人們曾經給很多特殊的數字成功地找到了所謂的通項公式，於是在心底裡也做起了這樣的美夢，素數到底有沒有通項公式呢？
拉格朗日
用一個公式就可以表示所有的素數，這在數學界看來不亞於，人類可以像坐地鐵一樣來回穿梭月球。事實上，兩千年來，人們絞盡腦汁，無數人耗盡一生心血，都沒有做到，甚至連靠近的機會都沒有。如果你對數學的歷史瞭解更多一點，你會發現有無數的數學大牛們，阿基米德，畢達哥拉斯，歐拉，高斯，黎曼，費馬，萊布尼茨，勒讓德。。。都曾為了這個夢想努力過，然而都沒有結果了。我們在感嘆這些前輩們的聰明智慧和無比的毅力以外，不經感嘆，素數的秘密就這麼難揭開嗎？
費馬
這裡，有人曾經腦洞大開：會不會有這樣一種情況，人們窮盡兩千年都沒有找到的素數公式，其實有一種很簡單的表示方法，只不過它非常非常幸運地躲過了兩千年來所有人的圍追堵截，一直隱藏到今天。
其實曉然菌也希望素數公式其實沒有那麼難，也許真的就有一種非常簡單的表示方式。但是稍加思考，頓時心灰意冷。
這種情況絕無可能！
咖啡漬也像是一條魚的巧合
你可以在很多場合下遇到非常巧合的事件發生，比如今天你在外地出差，然後在外地碰到了大學同學，的確很巧合。你今年填報志願，已經不抱希望的情況下，填了某所大學的競爭非常大的專業，而你並沒有多少優勢，最後仍然順利錄取，的確也很巧合。然而，數學研究上的所謂巧合，其實都不是巧合，很多看似顯然的巧合，背後都是嘔心瀝血的結果。 這裡說一個數學研究歷史上的漏網之魚。這個成果被前面很多數學大神們錯過，卻被一個16歲的青年發現。
220,284這對數字看似平淡無奇，其實是很有意思的。220的所有真約數之和1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284，而284的所有真約數之和1+2+4+71+142=220。這麼一看220,284就像是你中有我，我中有你，所以人們給這樣的數對起名相親數，實在太形象不過了。這麼有趣的現象，人們當然會想盡辦法找到更多的例子來。1636年，費馬發現了第二對相親數，17296和18416。1638年，笛卡爾也發現了一對，9363584和9437056。笛卡爾發現的這對相親數已經不算小了，再到後面恐怕難度越來越大。
無處不在的歐拉
很快相親數的概念被歐拉知道了，歐拉這個老流氓豈肯錯過。1750年，歐拉居然一口氣發佈了60對相親數！你沒看錯，就是一下子發佈了60對！人們驚呼歐拉快要把相親數找完了。再到後面，尋找難度就越來越大了，在當時只能手算的情況下，找尋的興趣就已經不算大了。然而，在找尋相親數這個過程裡發生了峰迴路轉的一件事。
1866年，16歲的意大利青年巴格尼尼也發現了一對相親數，倒不是這對數字是多麼多麼地龐大，恰恰相反，他找到的這對相親數僅僅比220,284大一點點，1184,1210。可以想象，如果在在他之前的大神們知道了這對數字，會不會搬起石頭砸自己的腳，眼皮底下的這對數字無一例外被錯過了。這也是數學史上為數不多但是很精彩的一次漏網之魚。而那位青年巴格尼尼也因為找到了這對第二小的相親數，在數學史上永遠留下了名字。
大家別太有期待，上面漏網之魚的案例實在是太少了，幾乎沒有可重複性。從正面跟素數這個超級硬骨頭槓實在是太沒有說服力，我們不妨從素數的幾個周邊問題來說明一下這個問題的難度。
首先我們來探討探討素數個數的問題。
高斯
其實很早以前就有人研究過這個問題，但是都不算是很系統的成果，直到少年高斯在15歲那年的驚為天人的類比，讓人們第一次摸到了素數個數這個領域的門檻。少年高斯曾經有著一本對數書，書本後面的附件裡有一張大約有幾千個素數的表格。正常人不會對這樣的素數表產生任何興趣，僅僅會把這個當成工具書，需要的時候拿出來翻翻。
然而高斯豈是常人，他也無聊中翻著翻著，突然就覺得這裡會有一些奧秘。我能不能從這幾千個素數的分佈中找到素數個數的公式呢？於是他開始類比，並做了下面這個表。
相鄰素數間隔平均值統計
高斯敏銳地發現，最右邊的那個相鄰素數間隔的平均值並沒有隨著N的10倍增長而同步倍增，看起來好像是左側增加十倍，右側始終增加2.3左右。這個不就是對數函數才有的性質嘛，於是，高斯大膽猜測了素數個數的性質。
素數定理
當然這是高斯猜測的結果，並沒有在理論上進行嚴格證明。直到20世紀初，高斯的猜測才被證明是正確的。即使沒有證明，但是能夠提出來這樣的猜想也絕非等閒之輩。
如果說高斯的素數定理只是關於素數個數的入門級的研究，那黎曼這位超級大神的黎曼猜想那絕對是素數個數問題終極答案了。
黎曼
1859年，黎曼為了感謝自己當選柏林科學院的通信院士，向科學院發佈了一篇僅有8頁但內容曠古絕今的論文《論小於給定數值的素數個數》。這篇文章通過對於一個特殊複函數的非平凡零點來研究整個素數的個數。實在是腦洞大開，一邊是虛無縹緲的複數域函數，一邊是一個一個地素數計數，這兩個看似風馬牛不相及的概念會有如此緊密的聯繫，實在是匪夷所思。
黎曼猜想非平凡零點的估計是數學界最大的謎題
黎曼猜想的內涵，我們這樣的普通人是不可能體會到的，這裡就簡單介紹一下：
ζ級數
在整個複數域內有許多的s可以作為上述ζ函數的零點，其中一些負偶數就滿足要求，因為這些負偶數都是顯而易見的零點，我們就把這樣的零點叫作平凡零點。既然有平凡零點，那麼肯定就有非平凡零點，說的一點不錯，有些看起來毫無規律的數也可以作為這個函數的零點。有人證明了這樣的非平凡零點有無數個，黎曼猜想的內容就是所有滿足條件的非平凡零點實部一定是1/2！
這個猜想的重要意義在哪兒呢？再來看看這個式子。
黎曼J（x）計數函數
這裡的J(x)就是黎曼提出的素數計算公式。這裡的J(x)不是粗糙的估計函數，而是準確值！由此得出，假若我們能夠證明黎曼猜想，那麼素數個數的問題就徹底解決！然而，黎曼猜想之所以被稱為當今數學界最重要的問題，除了意義重大，還有就是非常艱深，遠比我們熟悉的哥德巴赫猜想困難太多！
不過很可惜，到目前為止，人們關於黎曼猜想的最好結果是證明了，在x=1/2這條線上至少有40%的非平凡零點。一個從來不知道黎曼猜想的人恐怕也知道，這個成果和真正的黎曼猜想之間相隔千山萬水！
素數公式周邊的素數個數公式也這麼難，看起來素數問題的確不是一個簡單問題。先彆著急，素數個數研究沒有突出進展，那麼素數分佈呢？比如素數間隔。
那最著名的就是孿生素數猜想了。是否存在無窮多組相隔為2的素數對？
孿生素數猜想的先驅者——華人數學家張益唐
在很長一段時間聊，別說是否有無窮多對相隔為2的素數對這個問題難倒了世人，甚至，人們都不敢把存在無窮多對素數的間隔定義為有限多個長度。怎麼理解呢？人們不知道是否存在無窮多組間隔在1億，或者10億的素數對。這裡的1億，10億，100億人們不能確定。只能去猜測可能是這樣。直到有一位華人數學家第一次確定了這樣的間隔是有限多的。
2013年，華人數學家張益唐證明了，存在無窮多組間隔在7000萬以內的素數對。啊！人們終於放下心了，原來素數間隔真的是有限的!假若人們能夠把這裡的7000萬縮小到2，那不就是證明了孿生素數猜想了麼？事實證明，張益唐的方法不是一種孤立的獨門秘籍，而是有著巨大的改造空間，在不到一年的時間裡，人們就按照張益唐的方法將這個7000萬縮小到了246，幾乎就要成功了！
存在無窮多對間隔小於7000萬的素數對
然而孿生素數跟我們開了玩笑，前面的進度飛快，越到後面，道路越難，甚至舉步維艱。目前為止，數學界好像還沒有確認過更好的成果，於是，孿生素數猜想仍然是一個不可遙望的夢。
我們再看看另外一個素數週邊的問題，素數分拆問題呢？
陳景潤
那不就是著名的哥德巴赫猜想麼。中國人最熟悉不過的數學猜想了，到目前為止最好的結果是1+2，我國數學家陳景潤先生在1973年得出的，快50年了，沒有進展了。這個猜想的難度大家也絕對是深有體會，絕對不是表述的那麼簡單。老實說，曉然菌其實更加期待哥德巴赫猜想的解決，因為這個猜想上有太多中國人的情懷了。
素數個數，素數間隔，素數分拆，這三個素數領域的猜想，每個都是史詩級的問題，到目前為止，也沒有一個問題能夠被徹底解決。然而這三個難題的根源都是這個傳說中的素數公式，由這個可能根本就不存在的素數通項公式就能引出這樣巨大的難題.你還會以為這個公式可能會簡單，甚至用初等方法就可以表示出來麼？這是沒有一丁點可能的！
素數分佈螺旋
不過話也說回來，我們也許不用再對這個傳說中的素數公式有期待了，可能根本就不存在這樣的公式。呵呵，關於這樣的公式是否存在，這好像又是一個巨大難題。真希望以後的數學界會出現伽羅瓦這樣的天才，用他的理論明確告訴人們：請大家不要再對素數公式執迷不悟啦，我的理論證明了根本不存在這樣的公式。
伽羅瓦——也許再等一百年就能預見下一個我了
即使真的沒有這樣的公式，也絲毫不妨礙數學家們繼續在這份事業上開山劈地，為我們創造更多的成果。當數學成為所有人一種本能的時候，數學的春天才真的到來了。
