遞進式幾何綜合題已成為一些省市中考品牌試題，大多連續多年年都列在壓軸題的位置的出現。試題以層層遞進的方式呈現，求解時往往大致經歷模型建立，模型研究，模型應用三個階段。遞進式幾何題具有如下特點：小切口、深分析，問題從特殊到一般，由表及裡，由淺入深。問題之間，承前啟後，解法互聯。
解題策略綜述
在戰爭中，將帥經常通過排兵佈陣來迷惑對手，以最小的代價換取最大的殺傷力。但作為對手方，如何找到此陣法的弱點即突破口，應該是最重要的事情了。
幾何綜合題的圖形一般都比較複雜，識圖意識和能力是求解問題中的一個重要環節。在邊讀題邊看圖的過程中觀察其是否蘊含著熟悉的基本圖形，這此基本圖形往往就是解決問題的突破口，藉助基本圖形的處理解決問題。
並列式設問與遞進式求解,傳遞以退為進的解答策略，往往注重類比構造，尤其注重構造全等三角形、相似三角形與輔助圓等模型工具。
對於中考較難試題的思路獲得,需要引導學生學會"以退為進"策略,也就是說,面對難題,沒有思路或解題念頭時,"要善於退,退到簡單處、好懂處,再迎上去"。
這類題往往第（3）問似乎難以找到下手的方向,但當我們退回到前兩問想清一些中點線段之間的等量關係之後,就可以找到轉化念頭了這些解答策略在解後反思時都要注意反覆體會﹑感悟，以便能感受命題人員的良苦用心。在此老師舉幾例，希望同學們細細品味。
最新考題精講
例1．（1）閱讀理解：
如圖①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝12，求BC邊上的中線AD的取值範圍．
解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE（或將△ACD繞著點D逆時針旋轉180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，體現了轉化和化歸的數學思想，利用三角形三邊的關係即可判斷．
中線AD的取值範圍是_______ ；
（2）問題解決：
如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DM⊥DN於點D，DM交AB於點M，DN交AC於點N，連接MN，求證：BM+CN＞MN；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝110°，以C為頂點作一個55°角，角的兩邊分別交AB，AD於M、N兩點，連接MN，探索線段BM，DN，MN之間的數量關係，並加以證明．
【解析】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質、三角形的三邊關係、線段垂直平分線的性質、等腰直角三角形的性質、角的關係等知識；正確作出輔助線並證明三角形全等是解決問題的關鍵．
（1）閱讀理解：
由SAS證明△ACD≌△EBD，得出BE＝AC＝12，在△ABE中，由三角形的三邊關係即可得出答案為：2＜AD＜10；
（2）問題解決：
延長ND至點F，使FD＝ND，連接BF、MF，同（1）得：△BFD≌△CND，由全等三角形的性質得出BF＝CN，由線段垂直平分線的性質得出MF＝MN，在△BFM中，由三角形的三邊關係即可得出結論；
（3）BM+DN＝MN．
問題拓展：
延長AB至點E，使BE＝DN，連接CE，如圖2所示，由SAS證明△EBC≌△NDC，得出CE＝CN，∠ECB＝∠NCD，根據SAS可證明△NCM≌△ECM，則MN＝ME，即可得出結論．
例2．如圖所示，△ABC為等邊三角形，點D，點E分別在CA，CB的延長線上，連接BD，DE，DB＝DE．
（1）如圖1，若CA：AD＝3：7，BE＝4，求EC的長；
（2）如圖2，點F在AC上，連接BE，∠DBF＝60°，連接EF，
①求證：BF+EF＝BD；
②如圖3，若∠BDE＝30°，直接寫出EF/BF的值．
【解析】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．
（1）如圖1，延長CB至H，使EH＝BC，連接DH，由"SAS"可證△DEH≌△DBC，可得DH＝AC，可證△DHC是等邊三角形，由線段的數量關係可求解EC=7；
（2）①如圖2，延長CB至H，使EH＝BC，連接DH，延長BF至G，使BG＝BD，由"SAS"可證△DEF≌△DGF，可得EF＝FG，可得結論；
②過點F作FM⊥BC於M，作∠EFN＝∠FEC，交BC於N，利用等腰三角形的性質和直角三角形的性質分別求出EF＝（√2+√6）FM，BF＝√2FM，即可求解EF/BF的值1+√3．
例3．如圖，在Rt△ABC中，CB/CA＝nM為BC上的一點，連接BM．
（1）如圖1，若n＝1，
①當M為AC的中點，當BM⊥CD於H，連接AH，求∠AHD的度數；
②如圖2，當H為CD的中點，∠AHD＝45°，求AD/BD的值和∠CAH的度數；
（2）如圖3，CH⊥AM於H，連接CH並延長交AC於Q，M為AC中點，直接寫出tan∠BHQ的值（用含n的式子表示）．
【解析】本題屬於三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用參數解決問題，屬於中考壓軸題．
（1）①如圖1中，作AK⊥CD交CD的延長線於K．利用全等三角形的性質證明AK＝CH，再證明CH＝KH，推出AK＝KH即可解決問題∠AHD＝45°．
②如圖2中，作AK⊥CD交CD的延長線於K，作CM⊥AB於M．設DH＝CH＝a．證明△ADH∽△CDA，推出AD＝√2a，設AM＝CM＝BM＝x，在Rt△CMD中，根據CM2＝DM2+CD2，構建方程求出x（用a表示），求出BD即可，再證明sin∠ACK＝1/2，推出∠ACK＝30°即可解決問題，AD/BD=√3/3，∠CAH＝15°．
（2）作AJ⊥BM交BM的延長線於J．設AM＝CM＝y，則BC＝2yn．想辦法求出AJ，HJ（用n，y表示）即可解決問題．tan∠BHQ＝n．
例4．問題提出
（1）如圖①，在△ABC中，BC＝6，D為BC上一點，AD＝4，則△ABC面積的最大值是______．
問題探究
（2）如圖②，已知矩形ABCD的周長為12，求矩形ABCD面積的最大值．
問題解決
（3）如圖③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意圖，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，現在他想利用周邊地的情況，把原來的三角形地拓展成符合條件的面積儘可能大、周長儘可能長的四邊形地，用來建魚塘．已知葛叔叔欲建的魚塘是四邊形ABCD，且滿足∠ADC＝60°．你認為葛叔叔的想法能否實現？若能，求出這個四邊形魚塘周長的最大值；若不能，請說明理由．
【解析】本題屬於四邊形綜合題，考查了矩形的性質，四邊形的面積，三角形的三邊關係等知識，解題的關鍵是學會利用輔助圓解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬於中考壓軸題．
（1）當AD⊥BC時，△ABC的面積最大，最大值＝1/2×6×4＝12．
（2）由題意矩形鄰邊之和為6，設矩形的一邊為m，另一邊為6﹣m，可得S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）²+9，所以m＝3時，S有最大值，最大值為9．
（3）由題意，AC＝100，∠ADC＝60°，即點D在優弧ADC上運動，當點D運動到優弧ADC的中點時，四邊形魚塘面積和周長達到最大值，此時△ACD為等邊三角形，計算出△ADC的面積和AD的長即可得出這個四邊形魚塘面積和周長的最大值．
如圖③中，
∵AC＝50米，AB＝40米，BC＝30米，
∴AC²＝AB²+BC²，∴∠ABC＝90°，
作△AOC，使得∠AOC＝120°，OA＝OC，以O為圓心，OA長為半徑畫⊙O，
∵∠ADC＝60°，∴點D在優弧ADC上運動，
當點D是優弧ADC的中點時，四邊形ABCD面積取得最大值，
設D′是優弧ADC上任意一點，連接AD′，CD′，延長CD′到F，使得D′F＝D′A，連接AF，則∠AFC＝30°＝1/2∠ADC，
∴點F在D為圓心DA為半徑的圓上，∴DF＝DA，
∵DF+DC≥CF，∴DA+DC≥D′A+D′C，
∴DA+DC+AC≥D′A+D′C+AC，
∴此時四邊形ADCB的周長最大，最大值＝40+30+50+50＝170（米）．
答：這個四邊形魚塘周長的最大值為170（米）．
例5．問題探究
（1）如圖①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，P為CD邊上的中點，試比較∠APB和∠ADB的大小關係，並說明理由；
（2）如圖②，在正方形ABCD中，P為CD上任意一點，試問當P點位於何處時∠APB最大？並說明理由；
問題解決
（3）某兒童遊樂場的平面圖如圖③所示，場所工作人員想在OD邊上點P處安裝監控裝置，用來監控OC邊上的AB段，為了讓監控效果最佳，必須要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，AB＝200√3米，問在OD邊上是否存在一點P，使得∠APB最大，若存在，請求出此時OP的長和∠APB的度數；若不存在，請說明理由．
【解析】本題屬於四邊形綜合題，考查了矩形的判定和性質，正方形的判定和性質，圓周角定理，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會利用輔助圓解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬於中考壓軸題．
（1）如圖①中，結論：∠APB＞∠ADB．作PH⊥AB於H．證明四邊形ADPH是正方形，推出∠APH＝45°，推出∠APB＝90°，即可解決問題．∠APB＞∠ADB．
（2）當點P位於CD的中點時，∠APB最大．假設P為CD的中點，如圖②中，作△APB的外接圓⊙O，則此時CD切⊙O於點P，利用圓周角定理以及三角形的外角的性質解決問題即可．
（3）如圖③中，當經過A，B的⊙T與OD相切於P時，∠APB的值最大，作TH⊥OC於H，交OD於Q，連接TA，TB，OT．設TP＝TA＝TB＝r，用兩種方法求出QH，構建方程即可解決問題．
教學反思
1.圖形變換考題要重視學生獨立畫圖的訓練
我們知道,各地中考試題的最後一題多為幾何綜合題,又會以圖形變換(翻折、平移或旋轉等為設問背景,像北京地區圖形往往需要考生自己補全,這種幾何綜合題值得關注因為,就幾何學習來看,畫圖、作圖應該是基本功,將圖形都畫好、配全再安排學生推證結論。
其實就是很多專家學者所批判的"燒中段"現象，不利於學生幾何素養的全面提升。所以面對這類幾何綜合題,應該讓學生獨立畫圖、作圖之後再引導其對比各自所畫圖形是否致是否符合要求,有沒有太大誤差,甚至出現畫圖出錯的現象如何糾錯,等等多進行這樣的訓練,有利於提高學生解此類考題的能力。
2.解題教學時要注重引導學生體會"向上看"策略
所謂"向上看"策略,就是以退為進的解題策略，一般來說,中考綜合題特別是最後兩道大題,都是精心設計、打磨而成,往往各個小問之間看似並列、實則遞進,即增設出來的強化條件可能互不干擾,但是解題策略卻互為影響,前一問的解題策略可以啟示或影響後一問的思路獲得。
當學生挑戰到最後一問時,如果思路獲取出現困難,則需要退回上一問,將上一問的問題結構看清,成果擴大,這樣就能得出更多的思路就像上面這5道模考題,我們提供的第（3）問的第2種思路就是將第（2）問的成果擴大。
