二项分布的理论基础、应用及Python实践

二项分布是概率统计中非常基础、非常实用的一种分布，可以说它在我们的生活中无所不在。它说明了这样一种现象：在给定的试验次数中，某一结果会发生多少次。

比如：

这个月有多少天会刮北风？

今年有多少天会下雨？

经过一个路口100次，有多少次会是绿灯？

一年之中会有多少次出门就见狗？

一、伯努利分布

伯努利分布是二项分布的基础，它只有两种状态，比如抛硬币的时候，结果只有正面和反面两种情况，且两种情况的概率之和为1。也就是说，当我们给定​正面朝上的概率的时候，这个分布的一切就都确定了。

我们以0和1来标识这两种可能的结果，那么其概率函数为：

那么其期望值为：

其方差为：

二、排列组合

1. 排列

从n个对象中有序地挑选出r个对象，我们称之为排列，我们用以下公式统计其可能产生的排列数：

2. 组合

考虑另一种情况，仍然是从n个对象中抽取​r个对象，但是这次我们不考虑其顺序，这种过程我们称之为组合。我们用以下公式统计其可能产生的组合数：

可以看出，这是n选r的排列数除以r的排列数。上述公式又被称作二项系数，通常用“n选r”表示。

3. Python计算

那么接下来我们用Python来写一个函数，用来计算不同参数下的排列与组合的数量。在排列组合的计算中，我们可能会输入两个参数：总样本量n、需要抽取的样本数​k。

那么我们就定义如下函数：

<code>
from
 functools 
import
 reduce


def
 
PC
(n, k)
:

    
"""
    计算并返回排列组合数
    """
     
    
if
 n <= 
0
 
or
 k 
0
 
or
 n < k:
        print( 
'Wrong Input!'
)
        
return
 
None
    
     
    
if
 k == 
0
:
        
return
 
1
, 
1
    
     
    series_asc = list(range(
1
, n+
1
))
    series_desc = sorted(series_asc, reverse=
True
)
    
     
    permutation = reduce(
lambda
 x, y: x*y, series_desc[:k])
    
     
    perm2 = reduce(
lambda
 x, y: x*y, series_asc[:k])
    combination = int(permutation / perm2)
        
    
return
 permutation, combination/<code>

随手测试几个：

<code>
for
 n in 
range
(
1
, 
5
):
    
for
 k in 
range
(
1
, 
3
):
        
print
( 
'-'
*
10
)
        
print
(n, k)
        
print
(PC(n, k))/<code>

结果是正确的：

<code>
----------
1
 
1
(1,
 
1
)
----------
1
 
2
Wrong
 
Input!
None
----------
2
 
1
(2,
 
2
)
----------
 
2
 
2
(2,
 
1
)
----------
3
 
1
(3,
 
3
)
----------
3
 
2
(6,
 
3
)
----------
4
 
1
(4,
 
4
)
----------
4
  
2
(12,
 
6
)
/<code>

三、二项分布

回顾伯努利分布的情况：一次实验只有可能有两种结果，分别用0和1来表示，其中结果１发生的概率为p。那么在n次独立实验中，不考虑顺序的情况下，结果1出现​k次的概率是多少？

首先，因为n次实验相互独立，所以根据乘法定律，任何一种结果１出现​k次的场景发生的概率均为：

然后，我们需要考虑结果为１的次数刚好为k的情况有多少种。很明显，这就是一个伯努利试验的组合问题，n次实验中有k次结果为１的情况共有“n选k”种，两者相乘就是该事件发生的概率。因此：

Python计算

那么我们来用Python实现一个计算二项分布概率的小工具，在这里，我们的输入参数包含总试验次数n、正样本发生的次数k以及正样本发生的概率p​：

<code>
def
 
binominal_prob
(n, k, p)
:

    
"""
    计算并返回二项分布中某结果发生的概率
    """
     
    p_base = p ** k * (
1
-p) ** (n-k)
    
     
     
    combination = PC(n, k)[
1
]
    p_result = p_base * combination
    
    
return
 p_result/<code>

那么接下来，我们利用我们刚刚写好的小工具，来看一下在10次试验中，不同的概率对应的二项分布是什么样的。

<code>
probs
 = [binominal_prob(
10
, i, 
0.5
) for i in range(
11
)]/<code>

我们将结果画出来看看：

<code>%matplotlib 
inline
import
 numpy 
as
 np
import
 matplotlib.pyplot 
as 
 plt
import
 seaborn 
as
 sns
sns.
set
()

probs = [round(i/
10
,
1
) 
for
 i 
in
 range(
1
, 
10
)]
n = 
20

plt.figure(figsize=(
16
, 
6
))
for
 p 
in
 probs:
    dist_probs = [binominal_prob(n, i, p) 
for
 i 
in
 range(n+
1
)]
    plt.plot(range(n+
1
), dist_probs, label=
'p={0}'
.format(p))
plt.legend()
plt.title(
'Binominal Distributions of Different P value'
)
plt.savefig(
'binominal.jpg'
)
plt.show()/<code>

或者我们使用交互式的绘图库plotly来尝试同样的事情：

<code>
import
 
plotly.graph_objects as go

probs
 = 
[round(i/10,1) for i in range(1, 10)]
n
 = 
20

fig
 = 
go.Figure()
for
 
p in probs:
    
dist_probs
 = 
[binominal_prob(n, i, p) for i in range(n+1)]
    
fig.add_trace(go.Scatter(
        
x
=
list(range(n+1)), 
        
y
=
dist_probs, 
        
name
=
'p={0}'.format(p)
    
))
 
fig.show()
/<code>

可以看到，plotly实现的效果更加靓丽，且额外支持了动态交互，在这里我就选择把p=0.8这条线隐藏了起来。

四、一个利用极大似然估计求二项分布概率参数的例子

我们现在想象一种情况，有一枚分布不太均匀的硬币，每次抛向空中后，落地为正面的概率为p，任意两次实验之间相互独立。现在我们做了４次实验，其中有三次正面朝上，那么请问p的值为多少？

我们之前曾经提到过极大似然估计，在这里我们用同样的思路去估计p​的取值。极大似然估计的思想就是寻找一个参数，使得当前结果发生的概率最大，那么我们先定义出来当前结果发生的概率公式：

对其求导并使导数为０，有：

可得，当p=0.75时，P(X=3)=0.422达到最大（另一个解​p=0显然不可能，因为硬币朝上已经发生了，并不是“不可能事件”；另外考虑不同区间导数的取值也可以得到答案）。