例46如图4-135，已知：△ABC中，D是BC的中点，E、F是AB、AC上的点，且满足DE=DF=DB，AG是过A、E、F三点所作的⊙O的直径。求证：DF、DE是⊙O的切线。
图4-135
分析：本题的条件中出现了AG是⊙O的直径，所以可应用半圆上的圆周角的基本图形的性质进行证明，由于现在图形中是有直径AG，有半圆上的点F(或E)，而没有圆周角，所以应将圆周角添上，也就是联结GF（如图4-136），可得∠GFA=90°，而我们现在要证明的结论是DF与⊙O相切，由于DF与⊙O已经有一个公共点F，所以F点就是切点，而FG就是过切点的弦，从而就可以应用弦切角的基本图形的性质进行证明，也就是要证DF与⊙O相切，就可以转化为证∠DFG=∠FAG。
图4-136
由条件DF=DB=DC，出现了边BC上的中线DF等于这条边的一半，所以可应用直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质进行证明。于是联结BF（如图4-137），由DF=DB，可得∠DFB=∠DBF，由DF=DC，可得∠DFC=∠DCF而这四个角的和为180°，所以就有∠BFC=∠DFB+∠DFC=90°，或者也可由DF=DB=DC，得到F必定在以BC为直径的圆上，从而也可得∠BFC=90°，BF⊥AC。从而就可得GF和BF重合，BF就是△ABC的一条高。根据同样的道理，联结EG、EC后（如图4-138），也可证明GE⊥AB，CE⊥AB，GE和CE重合，CE是△ABC的另一条高，那么BF和CE的交点G就是△ABC的垂心。
图4-137
由于我们要证的性质是∠DFG=∠FAG，而我们已经证得∠DFG=∠DBF，所以问题就成为要证∠DBF=∠FAG。但由BF⊥AC，可得∠DBF+∠ACB=90°，所以问题又进一步转化成要证∠FAG+∠ACB=90°，也就是要证AG⊥BC。由于我们已经证明G是△ABC的垂心，所以根据三角形垂心的定义，延长AG交BC于K后（如图4-138），可得AK也是△ABC的一条高，所以上述性质就可以证明。
图4-138
例47如图4-139，已知：⊙O、⊙O′相交于A、B，CD是两圆的外公切线，切点是C、D。求证：∠CAD+∠CBD=180°
图4-139
分析：本题条件中出现了CD是⊙O和⊙O′的外公切线，所以对每一个圆来讲，CD都是这个圆的切线，所以就可应用弦切角的基本图形的性质来进行证明。由CD与⊙O相切于C，CA是过切点的弦，但图形中尚未出现弦切角∠DCA所夹的弧，即弧AC所对的圆周角，所以联结AB（如图4-140），可得∠DCA=∠ABC。而由CD与⊙O′相切于D和DA是过切点的弦，又可得∠CDA=∠ABD。而在△ADC中，有∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°，所以由∠CAD+∠CBD=∠CAD+∠ABC+∠ABD=∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°就可以证明结论。
图4-140