歲月是把殺豬刀,也是一把豬飼料。歷史長河,幾千年不過是彈指一揮間;而幾千年時間卻足以留給世人無盡的財富和數不清的謎團。
古埃及文明可以追溯至公元前6000年,但他們的足跡大部分在歷史中湮滅了,現存的諸多輝煌中,最讓我們震撼的莫過於“世界八大奇蹟之一”的金字塔。金字塔有著許多的未解之謎,它在結構上的驚人設計、及多種測量數據的巧合,更為其增添了幾分神秘色彩。
金字塔
我們都知道,金字塔的底部多為正方形,而且角度誤差極小,古埃及人在科技落後的情況下,是如何保證邊之間的垂直關係的呢?要知道金字塔的底長在200米左右,稍微的誤差都會讓金字塔“變形”。有一個合理的解釋是,古埃及人早已掌握了“勾股定理”,並能將其運用於生活:
如上圖,準備一根長繩,然後在每個12等分點處打結,並以3:4:5的關係拉緊成三角形,這樣長邊所對的角即為直角。是不是很巧妙,古埃及人利用3:4:5的邊長關係,成功構造出了直角三角形。什麼原理呢?勾股定理能出合理解釋。
勾股定理:直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。反之,如果一個三角形,其中兩條邊的平方和等於另一邊的平方,那麼,這個三角形是直角三角形。
從古至今,沒有一個數學定理像“勾股定理”這樣受到人們的特別關注和熱愛。 普林頓(Plinpton)322 泥板顯示,古巴比倫人至少在公元前1600年就已知曉這個定理。我國古代數學名著《周髀算經》也明確有“勾廣三,股修四,經隅五”的特例記載,這也是‘勾股定理’一詞的來源。
在歐洲,古希臘數學家畢達哥拉斯最早發現了“勾股定理”,據說為此該學派還殺了一百頭牛來慶賀,故在西方,“勾股定理”除了叫“畢達哥拉斯定理(Pythagoras theorem)”外,又名“百牛定理”。其他的古代文明,如古印度、古阿拉伯也都有勾股定理的記載。
勾股定理被發現以後,證明方法就層出不窮——如歐幾里得證法、“趙爽弦圖”證法、總統證法等,據統計,到現在已有500多種。對
勾股定理的“實驗驗證”
那勾股定理到底有多重要呢? 我們不妨做一個假設:如果“勾股定理”至今都未被發現,數學將會怎樣呢?
一、數系擴充受阻
數系從易於感知的自然數開始,經過不斷的擴充,到今天才達到完備的狀態。零、負數、虛數的發現都有其獨特的歷史印記,而無理數的發現尤為人們津津樂道。
公元前500年,畢達哥拉斯學派的希伯索斯(Hippasus)在研究“勾股定理”時,無意間發現了一個驚人的事實:一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的——即,邊長為1的正方形的對角線長不能用整數或分數表示。
這是對畢達哥拉斯學派所崇尚的“萬物皆數”理論的致命一擊,由此帶來的“第一次數學危機”更是許久未平。當然,數學發展史上的每一次挫折都是一場革命,隨著危機的解決,數學研究中新的血液也會隨之輸入。這一次,數系中加入了一位新成員——“無理數”。
儘管√2不是被發現第一位無理數——因為關於圓周率π的發現也許更早,但古人在實際應用中只考慮π的近似值,並沒有認識到它的“無理性”。是√2迫使人們去思考還存在著與“整數和分數”不一樣的數,進而想辦法擴充數系,解決矛盾。所以,√2的發現大大促使了數學家發現無理數的進程,而√2的發現無疑是依賴“勾股定理”的。
難以想象,如果沒有“勾股定理”,我們現在的”數系”會是怎樣?會不會人們至今仍然不去考慮圓周率π的無理性,更不會思考自然常數e與分數有何不同?