凌毅清
要说清楚这个问题，就首先要弄清楚极限是什么意思，在数学分析里面，我们给数列极限下了严格的定义
这就是数列极限的ε-N定义，利用它，我们可以很清楚的说明一些极限问题。比如我们知道1/n，当n无限大时极限是0，也就是说
利用上面的极限定义，我们就可以证明如下
数学救火队长
这个挺好证明的，不过要分两种情况讨论：
一、大于1的数无数次开方
讨论之前，我们先要明确2点。即一个大于1的数开方，其值会变小，但不会小于1。下面是证明：
因为， n（n-1）>0，
所以，n^2-n>0，
所以，n^2 > n
所以， n > √n
即一个大于1的数开方，其开方值会变小。
又因为n > 1，
所以，√n > 1。
即一个大于1的数，其开方值会大于1。
知道这两个结论，我们就很容易讨论一个大于1的数无限次开方的问题了。
因为这个大于1的数每次开方，其开方值都会变小。所以，随着开方次数的增多，这个开方值逐渐变小。如果开方次数无限多，那么它就无线变小。但由于开方值总大于1，所以无限次开方之后，其开方值只能够无限接近于1，但是却不能等于1。
证毕。
二、大于0小于1的数的无限次开方。
对于这样的数，其开方值会变大，大不会超过1。下面证明：
因为，n(n-1)<0
所以， n^2 < n，
所以n < √n，即这个数开方后，其值变大。
又因为n < 1，
所以√n < 1。即这个数的开方值，总小于1。
因此，对于一个小于1大于0的数来说，其每次开方，开方值都会变大。也就是说，对其无数次开方后，其值会无限增大，但却不能超过1。因此，无数次开方后只能够接近于1。
证毕。
三、结论
所以综上，对于一个非1的正数，其无限次开方后，开方值无限接近于1。
科学探秘频道
稍微修正一下问题，应该是：
为什么正数无数次开方后无限接近于1？
因为 0 的无数次开方 仍然是 0，而负数开方是虚数。
对任意实数 x（x≥0）的开方可以看成是一个分数幂的幂函数：
f(x) = √x = x¹ᐟ²
绘制成图形见图1中的绿色曲线。
考虑 f 定义域取 [1, +∞) 的部分。
我们可以找到两个函数 g(x) = 1 和 h(x) = (x+1)/2，使得 对于任意 x ∈ [1, +∞) 有：
g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ①
验证：
对于 任意 x ∈ [1, +∞)， 因为 x ≥ 1 所有 √x ≥ √1 = 1，即 f(x) ≥ g(x)。
根据完全平方式，有
y² - 2y + 1 = (y - 1)² ≥ 0，
于是：
(y² + 1)/ 2 - y = (y² - 2y + 1) / 1 ≥ 0 / 2 = 0
令 y = √x 带入上面不等式得到：
(x + 1)/ 2 - √x ≥ 0
即， h(x) - f(x) ≥ 0，从而，h(x) ≥ f(x)。
其实，绘制成图，就一目了然了：
对于任意 x₀ ∈ [1, +∞) 无数次的开方，会得到如下序列：
f₁ = f(x₀) = √x₀, f₂ = f(f(x₀)) = √√x₀, f₃ = f(f(f(x₀))) = √√√x₀, ...
这相当于反复迭代调用 f，相应地，我们也可以得到 g 和 h 的反复迭代序列：
g₁ = g(x₀) = 1, g₂ = g(g(x₀)), g₃ = g(g(g(x₀))) = 1, ...
h₁ = h(x₀) = x₀/ 2 + 1/2, h₂ = h(h(x₀)) = x₀/2² + 1/2 + 1/2², h₃ = h(h(h(x₀))) = x₀/2³ + 1/2 + 1/2² + 1/2³, ...
显然 序列 {g₁, g₂, g₃, ...} 是一个恒 1 的常数序列，所以，当 i → ∞ （数学中，→ 表示“无限趋近于”的意思）时，有 gᵢ = 1，当然 gᵢ → 1；
而 序列 {h₁, h₂, h₃, ...} 的通项公式是：
hᵢ = x₀/2ⁱ + (1/2 + 1/2² + 1/2³ + ... + 1/2ⁱ)
括号内部分是一个a₁ = q = 1/2 的等比数列，根据 等比数列求和公式，有：
Sᵢ = a₁(1-qⁱ)/(1-q) = 1/2 (1-1/2ⁱ)/(1-1/2) = 1-1/2ⁱ
于是：
hᵢ = x₀/2ⁱ + 1 - 1/2ⁱ =1 + ( x₀ - 1)/2ⁱ
因为，当 i → ∞ 时，2ⁱ → ∞，而 (x₀ - 1) 是常数，所以 (x₀ - 1)/2ⁱ → 0，进而 hᵢ → 1。
综上，我们得到：
当 i → ∞ 时，有 gᵢ，hᵢ → 1，而根据不等式 ① 我们知道 gᵢ ≤ fᵢ ≤ hᵢ，于是根据 加逼定理，我们就得到：当 i → ∞ 时 fᵢ → 1。
问题在 [1, +∞) 的部分，得证。
考虑 f 定义域取 (0, 1] 的部分。
令 y = 1/x ，则有：
f(y) = √(1/x) = 1/√x = 1/f(x)
f(f(y)) = √(1/f(x)) = 1/√f(x) = 1/f(f(x))
...
而，对于 y₀ ∈ (0, 1]，令 x₀ = 1/y₀，显然 x₀ ∈ [1, +∞) ，于是有：
f'₁ = 1/f₁, f₂' = 1/f₂, f₃' =1/f₃ , ...
上面已经证明了：当 i → ∞ 时 fᵢ → 1，而当 fᵢ → 1 时 1/fᵢ → 1，即 fᵢ' → 1。
问题在 (0, 1] 的部分，得证。
对于上面的 幂函数 f = √x，当 a = 1 时，我们发现：
f(a) = a，
数学上称这样的 a 为 关于 f 的不动点。
另外，再回到 f 定义域取 [1, +∞) 的部分，仔细观察，我们还会发现：
f'(x) = (√x)' = 1/(2√x)；
h'(x) = ((x+1)/2)' = 1/2；
于是，当 x ≤ [1, +∞) 时，有：
f'(x) = 1/(2√x) ≤ 1/2 = h'(x)
即，f 变化率小于 h，于是有：
对于任意 x,y ∈ [1, +∞)，有|f(x) - f(y)| ≤ |g(x) - g(y) |
而 |g(x) - g(y) | = |(x+1)/2 - (y+1)/2| = (1/2) |x - y|，我们令：
d(x, y) = |x - y| （注：函数 d 为 实数轴上两点 x， y 的距离，称为距离函数。）
α = 1/2
于是最终得到：
函数 f 对于任意 x,y ∈ [1, +∞)，有 d(f(x), f(y)) ≤ α d(x, y) ②。
在数学上，如果 可以找到 一个 正实数 α > 0，使得 一个函数 f 可以满足不等式②，则称 f 是有界函数（也称 李普希茨映射），特别地，当 0 < α < 1 时，称 f 为 压缩映射（函数）。
将，上面两个发现，关联起来，我们可以大胆猜想：“压缩映射 一定具有 不动点”，这就引出来著名的 压缩映射原理（也称 Banach 不动点定理）：
设 连续映射 f 是 完备距离空间 (X, d) 中的 一个压缩映射，则 存在 唯一 a ∈ X 是 关于 f 的 不动点。
什么是 距离空间 ?
通俗的来说，可以测量距离的空间；准确来说，距离空间就是定义了 距离函数 d 的 线性空间，实数轴 R 就是 一个线性空间，再加上上面 d 的定义，于是 (R, d) 就是一个距离空间。
什么是 完备的？
通俗来说，就是没有漏洞；准确来说，就是 空间中 所有 柯西列 都是 收敛列。
再进一步，取 任意 x₀ ∈ X，则 序列 {xᵢ }：
x₁ = f(x₀)，xᵢ = f(xᵢ₋₁)
必然，收敛于 a。
问题中，就是压缩映射原理，对于函数 f = √x 在距离空间 ([1, +∞), d) 中的应用。所以，虽然题主的问题貌似简单，其本质却是《泛函分析》 中的一个深刻定理。
最后，附上压缩映射原理的证明：
序列 {xᵢ } 满足：
d(xᵢ₊₁, xᵢ) = d(f(xᵢ), f(xᵢ₋₁)) ≤ α d(xᵢ, xᵢ₋₁) = α d(f(xᵢ₋₁), f(xᵢ₋₂)) ≤ α² d(xᵢ₋₁, xᵢ₋₂) = ... ≤ αⁱ d(x₁, x₀)
另外，根据 距离函数 的三角不等式性质，对于 任意 自然数 u 有：
d(xᵢ₊ᵤ, xᵢ) ≤ d(xᵢ₊₁, xᵢ) + d(xᵢ₊₂, xᵢ₊₁) + ... + d(xᵢ₊ᵤ, xᵢ₊ᵤ₋₁)
将上面结合起来，有：
d(xᵢ₊ᵤ, xᵢ) ≤ αⁱ d(x₁, x₀) + αⁱ⁺¹ d(x₁, x₀) + ... + αⁱ⁺ᵘ⁻¹ d(x₁, x₀) = [αⁱ /(1 - α)] d(x₁, x₀)
当 i → ∞ , d(x₁, x₀) 和 (1 - α) 是常数，而 由于 0 < α < 1 因此 αⁱ → 0 ，进而 d(xᵢ₊ᵤ, xᵢ) → 0。
这就证明了 {xᵢ } 是柯西列，由于 X 是完备的，所有 {xᵢ } 必然收敛，设，这个极限是 a。
对于等式 f(xᵢ) = xᵢ₊₁ 两边取极限，得到：
lim_{i → ∞} f(xᵢ) = lim_{i → ∞} xᵢ₊₁ = a
而 f 是连续的，因此有：
lim_{i → ∞} f(xᵢ) = f(lim_{i → ∞}xᵢ ) = f(a)
于是，得到：
f(a) = a
这就证明了 a 是关于 f 的一个不动点。
下面证明 a 唯一。
设，a' 是 关于 f 的另一个不动点，则：
d(a, a') = d(f(a), f(a')) ≤ α d(a, a')
由于 0 < α < 1 ，要让上面的不等式成立，则必须：
d(a, a') = 0
这就说明 a 和 a' 之间的距离为 0，即， a = a'。
缩映射原理得证。
（关于，压缩映射原理的证明可能需要一些的基础铺垫才能看懂，关于这些铺垫有兴趣的网友可以参考《泛函分析》，这里就是不复述了。）
关于不动点，还有另外一个著名的 Brouwer 不动点定理：
设 D ∈ Rⁿ ，D 是 非空的，紧致的，凸集，则 任何 连续映射 f: D → D ，必然在 D 中存在 不动点（不一定唯一）。
一个 n 维闭实心球就是 典型的 非空紧致凸集；
一个 n 维球面也是，比如：我们的地球表面，于是就有了：
将任意一张世界地图揉成团，扔在地上，则 地图和地面的接触点，确定了 一个连续映射 f，进而 必然存在 地球上一个点 在 f 下不动。
（其实，题主的这个问题还能引出：李普希茨条件（甚至 赫尔德条件） 它对于确定解微分有唯一解，非常重要，但这就是扯远了，这里打住。）
（由于本人数学水平有限，出错在所难免，非常欢迎各位同学和老师批评指正。)
补充：
开始那个证明是为了引出 不动点定理才写的复杂。其实可以直接证明如下：
函数 f＝√x (x > 0) 的迭代序列为：
f₁ = √x = x^{1/2},
f₂ = √√x = (x^{1/2})^{1/2}= x^{1/2²}
f₃ = √√√x = ((x^{1/2})^{1/2})^{1/2} = x^{1/2³}
...
其通项公式为：
fᵢ ＝x^{1/2ⁱ}
当 i → ∞时，有 1/2ⁱ→0，进而 fᵢ → x⁰＝1。
得证。
思考思考的动物
谁告诉你的？0的多少次方都是0，1呢？偶次方根和奇次方根呢？
郭保庄之古今斋
幂指数极限问题
设这个数为x， 条件：x > 0
证明：非零正数的零次方 ➡️ 接近于1
非零正数位于根号下
根号上⬆️ 开方指数 ➡️ ∞
每一次开方，导致：指数数值 ⬇️ 降低
当：开方∞次 即：指数被除∞次
那么：根号上指数会无限➡️趋近于 0
导致：非0正数 ➡️接近于 0次方
所以：一个非零正数的无穷次开方
♾ 接近于 1
骑着巴马遛安培
给你一个最浅显易懂的答案吧
开方就是二分之一次方 开两次就是四分之一次方 开n比方就是1/2n次方 随着n的增大 越来越接近于0次方 也就是1 如果说开无限次方我认为你的问题所说的有误 不是接近1 而是就是1
喵搞哦
设a为一个正数，X=a^(1/2)^n，(n=1,2,3……),当n=∞时，就相当于对a进行了无数次开方，由极限可知当n=∞时，(1/2)^n=0，所X=a^0=0，
阿姆河之春
1）首先要限定正数，a > 0
2）原命题为a开∞次方，收敛于1
3）命题等价于n->∞，(1/n)lg(a)->lg(1)=0
显然，n->∞时(1/n)->0，上式成立。
潘飞panfee
限在正实数范围内讨论。一个大于1的数不断开方逼近于1，因为1是最小的自然数。小于1的正数不断乘方逼近于0，因此小于1的正数不断开方也逼近于1。从数轴上看就是，在不断开方的运算中，大于1的数从右方逼进于1，小于1的正数从左方逼进于1。
王祖荫1
🍎无限的去切，在你不偷吃的情况下，刀上总会留些果汁，切的越多留的越多，但是刀上绝对不会留下整个🍎，还是直接吃吧，省事不浪费，别乱想!闹心😁😁😁😁😁😂😂😂😂