多多玩游戏
芝诺是古希腊数学家，提出了一系列悖论以反驳时间和空间的连续性和变化问题，比较有名的有追乌龟和飞矢不动两个。
古希腊传说中有一位跑的最快的英雄阿基里斯，海洋女神忒提斯和英雄珀琉斯之子。在阿基里斯出生后，忒提斯捏着他的脚踝将他浸泡在冥河斯堤克斯中，使他全身刀枪不入，惟有脚踝被忒提斯手握着，没有浸到冥河水，是他唯一的弱点。在特洛伊战争中被敌人射中脚踝而死。
有一天，阿基里斯遇到了一只乌龟。乌龟对阿基里斯说：别看你跑得快，你永远也追不上我。阿基里斯问为什么呢？乌龟说，你看：
如果阿基里斯在A处，乌龟在B处，同时出发。阿基里斯要追上乌龟，首先要追上乌龟先跑的一段AB，但是在这段时间乌龟也在向前跑，当阿基里斯到达B处时，乌龟已经跑到了C处，还没有追上。虽然此时BC的距离小于AB的距离。
阿基里斯会继续跑BC这一段，但是这段时间乌龟也没闲着，跑到了D处，虽然CD小于BC，但是阿基里斯还是没有追上乌龟。
以此类推，阿基里斯和乌龟之间的距离只能不断缩小，但是永远都不会变为零。综上所述，阿基里斯永远追不上乌龟。
这个悖论的诡辩之处在于：芝诺将一个追及过程分割成无限多份，但是这无限多份的时间和距离之和是有限长。
为了解释这个问题，我们把追及过程画在一个数轴上，并且假设AB之间距离为L，方便起见，设阿基里斯的速度等于两倍乌龟速度。
这样一来，相同时间内阿基里斯运动的距离就是乌龟的两倍。所以阿基里斯走过AB时，乌龟走过的BC段距离为L/2，阿基里斯走过BC时，乌龟走过的CD段长度为L/4...
如果阿基里斯要追上乌龟，需要追及无线多段，将这无限多段加和
我们会发现，随着段数的增加，这个距离约来越接近2L。如果只有两项，那么与2L相差L/2；如果有3项，与2L相差L/4，如果有4项，与2L相差L/8...如果有无穷多项，阿基里斯走过的总距离就等于2L。
同样的，设阿基里斯走过AB段的时间为t，则总时间T等于
芝诺把一段有限的时间和距离分割成了无限多份，是不能得出追不上的结论的。
实际上芝诺的这种做法类似于微积分，将一个过程无限分割，再进行累加，这恰好是微积分的基本思想。分割无限多份后越往后的小段时间和空间越小，称之为无穷小。牛顿和莱布尼茨提出微积分后，人们发现了微积分的重要应用，解决了许多数学和物理的问题。
李永乐老师
几乎所有人都知道龟兔赛跑的故事
因为兔子太过于轻视乌龟
最终居然输给了乌龟
这是公元前六世纪《伊索寓言》里的故事
可是在《伊索寓言》诞生的一百多年后
又有一只乌龟横空出世
这次它比赛的对象不是兔子了
而是古希腊神话中
最善长跑步的英雄阿喀琉斯
可是最后又是乌龟赢了
这只乌龟不仅跑赢了比赛
还一度成为了科学界中的神兽
那到底是怎么一回事呢？
要知道这件离奇的事
我们就不得不先从
这只乌龟的主人芝诺
开始讲起
……
公元前488年
芝诺出生于意大利半岛南部的埃利亚
是古希腊著名的数学、哲学家
甚至还被封为辩证法的创始人
但是真正使他留名于世的
是他的悖论们
据说他一生推出了80多个悖论
其中有4个悖论非常著名
而其中一个就是关于那只神龟的。
故事是这样的：
公元前464年
号称世界上跑得最快的阿喀琉斯
和一只乌龟进行了一场赛跑
阿喀琉斯是《荷马史诗》中的海神之子
然而乌龟只是一只平凡的乌龟
不仅短小
还有结实笨重的龟甲
于是
乌龟以身体劣势为由
申请提前奔跑100米
当乌龟跑出100米的时候
阿喀琉斯便开始奋力追击了
阿克琉斯的速度
是乌龟的十倍
当阿喀琉斯追到100米时
乌龟已经又向前爬了10米
于是
一个新的起点产生了
阿喀琉斯必须继续追
而当他追到乌龟爬的这10米时
乌龟又已经向前爬了1米
阿喀琉斯只能再追向那个1米
就这样
乌龟会制造出无穷个起点
它总能在起点与自己之间
制造出一个距离
不管这个距离有多小
但只要乌龟不停地奋力向前爬
芝诺说
阿喀琉斯就永远也追不上乌龟
这个悖论
让我想到了我们中国古代
有一位圣贤庄子也说过这么一句话：
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”
其实两者的意思是一样一样的。
OK
不管这个看似在现实世界中
芝诺的乌龟是多么的蛮不讲理
即使随便建立一个简单的方程组
t=s/(v1-v2)
就能求出阿喀琉斯追上芝诺之龟的时间
甚至
用数学巨匠莱布尼茨
与科学巨匠牛顿
隔空修炼的“微积分”
其中的“极限”法门
也能轻易踩扁这只乌龟
但问题是
我们在这里有一个假定
那就是假定阿喀琉斯最终是追上了乌龟
才求出的那个时间
但是芝诺的悖论的实质在于
要求我们证明为何能追上？
被我这么一问
是不是又被我搞糊涂了？
其实答案很简单
以现代物理学的角度来看
芝诺的乌龟也是不成立的
他把时间和空间
看成无限可分的状态
可是
空间与时间是不能无限细分的啊！
我们都知道普朗克长度
也就是物理学上
有意义的可测量的最小长度
一般认为
达到了这个普朗克长度之后
任何长度也就没有任何意义了
所以
当乌龟和阿喀琉斯之间的距离
达到一个普朗克长度距离的时候
或者时间达到一个普朗克时间的时候
是无法再继续分割的
这个时候
你“看”到的运动
就是
阿喀琉斯直接“跨过”一个普朗克长度
时间也正好过去了
一个普朗克时间大小的时间
并且顺利追上了乌龟
其实
芝诺又何尝不知道
现实中阿喀琉斯肯定会追过乌龟
只是这个悖论
是源于数学大师间的一个小玩笑
巴门尼德是芝诺的老师
在探讨0.999……与1的大小问题上
巴门尼德一直坚持
"1-0.999……=0，或1-0.999……>0"的思想
而当时“数学派”的典型代表
毕达哥拉斯则坚持认为" 1-0.999……>0"
芝诺编出这个悖论
其实是想给两位大师的反戈一击
因为
芝诺一直坚持认为
"1-0.999……=0，而非大于0"
就因为这个小小的争论
以至于在之后的两千年时间里
人类对这只千年老乌龟依然耿耿于怀
不管从哲学到前沿物理学
人们还常常拿它吵架
不过这么说起来
0.999999...还真的是等于1啊
你们不信？
好的
双11快来了
为了让大家能在双11好好过节
算清楚自己的预算和支出
我也是拼了命了
就来给大家好好证明一下
为什么0.999999...=1
大家看好了啊！
大家都知道
1/3=0.333333...
等式两边都同时乘以3
1/3×3=0.333333...×3
我们会发现
1=0.999999...
没错吧！
如果这样还不能睡服你
那么我们把0.999999...乘以10
也就是把小数点向右移一位
10×0.999999...=9.99999...
再把讨厌的小数从两边减去
10×0.999999...-1×0.99999...
=9.99999...-1×0.99999...
等式的左边利用加法结合律
就是9×0.99999...
等式右边就剩下9
因此，如下
9×0.99999...=9
我们都知道
如果一个数的9倍等于9
那么这个数就只能是1
这不就是我们要的结果？
神奇吧？
虽然
芝诺悖论已经被物理学给解开
不过芝诺倒是说过一句至理名言
人的知识就好比一个圆圈
圈内是你已知的知识
圈外是你未知的知识
当你的知道的越多时
圆圈也就越大
相对的
你不知道的东西也就越多
神逻辑啊
但是不得不说这个说法太正确了
包大人玩科学
阿基里斯追不出乌龟，其实以上这种说法其实是荒谬的，但却有人用数学的方法证明到此诊断：
假设龟兔刚开始相距的距离为Ｌ，两者的速度分别是Ｖ１和Ｖ２其中一个是我们常用的时间t,另一个则是芝诺时间t',在这个时间度量下，即使时间趋于正穷，兔子还是追不上乌龟的．看下图的表述：
在芝诺的时间背景下兔子是无法追上乌龟的，是不是很神奇！
问题的核心在于时间度量上，时间是不能无限分割的
在逻辑上它的表述没有问题，在数学上可以推导出来，那是否说明那就是对的呢，肯定错误的；错在哪里呢？这就是这个悖论的魅力所在，很难找．其实是时间的度量，如果时间可以细分，我们还可以类似的说明高铁追不上一个普通人，刘翔跑步追不上走路的普通人．．．．．这样的话感觉世界都会乱套了．问题的核心在于时间不能无限细分，为什么不能细分呢，这个就不是数学能解释的问题了，得请教物理学家了，对于时间的概念就需要量子理论来论证了．本人水平有限，只能说到这．
学霸数学
看了很多回答，感觉都回答的不够清楚。
先说结论，芝诺悖论说明了时间和空间(在这里是距离)不可无限细分。那么怎么理解这个说法呢？
首先，芝诺的逻辑是没有问题的，阿基里斯在追了10米的时候，乌龟跑了1米。。。如果这个过程可以无限进行下去，那么乌龟始终在阿基里斯前面，阿基里斯无法超过乌龟。换个数学说法，对于阿基里斯来说，就是S=(10+1+1/10+1/100+...+1/10^n)，当n趋向无穷大，S=11.11111...=100/9。对于乌龟来说，S=10+(1+1/10+...)=100/9，括号里是乌龟跑过的路，外面是开始前领先的距离。从这里可以看到，如果n是一个无限大的值，那么阿基里斯和乌龟就只能跑到100/9这个距离了。
有人可能会说了，你不是在n个步骤的时候到100/9了么？这不等于追上了么？在n+1时刻不就超过了么。注意这么想是错误的，因为无穷大不是一个数字，无穷大加1还是无穷大，减1还是无穷大，甚至减掉一个无穷还是无穷大，这个可以参考连续统的知识。
所以一旦时间和空间可以细分，就是n可以趋向无穷大，那么就会出现芝诺描述的悖论。所以时间和距离是不可以被无限细分的，量子力学也支持这个观点。
顺便说一下关于1=0.999...这个事，这个等式成立是正确的，但是把1=3*1/3=3*0.333...=0*999...作为证明你我觉得是不可取的。这个过程作为辅助理解是可以的，但作为证明是不严格的。因为0.999...=3*0.333...这个不能随意推广，需要证明。这里其实也面临这个操作需要无限个步骤完成的问题。其实在现有系统里我认为这个命题属于无法证明也无法证伪，因为我们无法完成一个有无限个步骤的乘法。因此事实上我们是通过定义来确认这个等式的。也就是根据定义(戴德金分割)可以推出1=0.999...
神采奕奕迤逦而行
无稽之谈，这个理论最大的前提是时间是有限制，也就是有一个无限接近却也无法达到的点。
顺着这个理论，人去追赶乌龟，每个节点的时间会越来越短，短到最后乌龟几乎都伸不出爪了，这个理论意味着人想要追上乌龟必须超过这个限定的时间点，毛病在于这个时间被无限细分，就像一尺之锤，日取其半，区别在于一个限定了时间，一个限定了空间。人什么时候能追上乌龟？那就是0.99....9等于1的时候，等最后一个9跨过这最后一步就成了
时间很抽象，到空间相对具体很多，木锤取半，理论上确实无穷尽也，但人的观测能力是有限度的，分子，原子，离子，夸克，再往后呢？人类目前已经没有能力去测量了，不能测量的东西不代表不存在，但和不存在又有什么区别呢？
抛开单纯的学术思维，在生活中你问任何一个人能不能跑过一只乌龟，一个健康的人，9成9的会一笑置之，简直是开玩笑！空中楼阁式的学术理论，还是让伟大的砖家学者们去研究吧，我们老百姓图一乐呵就成
华飞锅炉
不要听信其他人瞎说，芝诺悖论目前并没有被公认得到了彻底解决。
芝诺悖论目前的状态不同于第一次数学危机利用无理数概念的提出得到了公认的解决方案，可以说，目前所有解决芝诺悖论的方案都是有瑕疵的。
一、认为时间、空间不可以无限细分的观点实际上只是转移了问题，因为没人能够回答为什么时间、空间不可无限细分。同时这种方案还给物理学提出了难题，即最小的时间间隔是多少？最小的距离是多少（所谓“普朗克长度”只是说小于该长度会不可测，不是说小于该长度不存在）？另外，这种主张同时还意味着微积分在时间、空间上是无效的。
二、利用微积分解决芝诺悖论实际上不是正面回答问题，无限次追赶都没有追上是一个在思维世界存在的事实，不能因为在现实中是能追赶上就断定这个“思维事实”是错的，你得指出为什么错了。一味指责前人不懂微积分思想，这根本不是在讲理由，甚至可能还不符合事实。PS，同时认同不可无限细分和微积分两种方案的人为数不少，有意思的是，这两者本质上是矛盾的。
三、利用逻辑上的“同一律”理念来解决芝诺悖论是目前相对好一些的方案，即主张无限次追赶不上不等于时间上的永远追赶不上，技术性把两者辨析出来。这个方案唯一的缺点就是可能会带来更多的麻烦，逻辑上的原则本来就应一以贯之，今天用这种方法解决芝诺悖论，那明天我们日常用语按理也得按照这个套路来，单是想想都令人头痛。
所以，笼统地说，芝诺悖论其实并没有解决，别听其他人瞎说。
波德莱尔信徒
在芝诺悖论中，人与乌龟赛跑，乌龟先跑100米，然后人跑了100米，乌龟跑了10米。人跑了10米，乌龟跑了1米.....看似人永远追不上乌龟。其实这是不符合现实的。人跑了100米，乌龟跑了10米，此时乌龟总共前进了110米，人前进了100米，两者相差10米。如果两者都匀速跑的话，人又跑了100米，而乌龟依然跑了10米。那么乌龟总共跑了120米，人总共跑了200米，人已经超过了乌龟。
你们谁跑步时明明速度比前边人快，能超过前边的人，你却非得慢下来，一直跟在他后边。而且越来越慢，最后几乎不动了，反正就是不超过前边的人。那不是傻嘛。。。
脏豆粉
芝诺悖论有一假设前提，这个前提是乌龟可以挡着人的路，这时，只要乌龟挡住路，人就不可能超过乌龟，而且只能在乌龟后面，所以追不上，但现实中人可以找机会绕过乌龟超过去，所以这个逻辑悖论只是一个书生玩逻辑玩出来的悖论，不能太认真
龙一欧
看了很多回答，都是拿积分了极限了什么来回答，当你想到用这些方法来解答时，你已经掉进陷阱里了，或者说你思维已经被套进去了。大家可以去看看原题，原题中隐含着一个条件，那就是时间。如果追上兔子时间为a，题中默认条件就是小于a,自己可以去算一下，时间永远达不到a。所以结果很明显了，一个五分钟才能追上的东西，你只给两分钟，怎么追上！
夢醒深秋zZ
＂某条路线上，甲追上乙＂, '通常的、也是正确的理解'是 —— ＂首先，双方都按该路线一直向前运动；其次，记时开始之后，'在某段时间内'，如果'甲所跑的路程' 大于或等于'刚开始时甲乙相隔的路程 + 乙所跑的路程'，那么，就说'甲追上乙'＂！
现在，芝诺将＂某条路线上，甲追上乙＂换成了另外一种理解 —— ＂'甲必须依次来到'乙'依次到过的地方'。其中，'乙依次到过的地方，显然是一个'与正整数序列一 一对应的无限项数列'＂！ 由于＂乙曾经到过的地方，在该路段中，能够一直不停的随着时间向前延伸＂ —— 所以， ＂当甲追到乙上一次的'途经点'时，乙却已经跑到新的'途经点'去了＂！ 正是因为＂该路段中，记时开始后，乙不断的产生新的'途经点'＂，所以，甲永远追不上乙！
芝诺把＂'某条路线上，甲追上乙'的含义＂换成了＂另外一种理解 —— '甲必须依次来到'乙'依次到过的地方'＂。＂他的这种理解＂与＂通常的、正确的理解＂含义相同吗？！答案是 ：＂显然不相同＂！
其中，＂最要命的是 ＂ —— ＂芝诺的这种理解，包含着一个正整数序列中的假设 ：'你跑到我的上一处，我已经跑到下一处'去了＂！实际上，＂这已经假定＂ —— ＂在'任意的时间'，'你只能在我的后面'追赶'我的下一个途经点'＂！ —— ＂这就是'永远追不上的假设'＂ ！ 在＂这样的假设＂之中，＂是10倍乌龟速度时，是追不上的＂，是＂100倍、1000倍、10000倍乌龟速度时＂，。。。。。。，只要是用＂有限倍的乌龟速度＂，你还是追不上滴 ！（只有用＂无限倍的乌龟速度＂，你才追得上！）
