勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
【证法1】(课本的证明)
做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像下图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等. 即a²+b²+4×½ab=c²+4×½ab,整理得a²+b²=c².
【证法2】(赵爽证明)
以a、b 为直角边(b>a), 以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于½ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,
∴∠HDA = ∠EAB.
∵∠HAD + ∠HAD = 90º,
∴∠EAB + ∠HAD = 90º,
∴ ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c².
∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.
∴ EFGH是一个边长为(b―a)的正方形,它的面积等于(a+b)²
4×½ab+(b-a)²=c²,
∴a²+b²=c²
【证法3】(1876年美国总统Garfield证明)
以a、b 为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于½ab.
把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上.
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
∴∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.
∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于½c².
又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,
∴ AD∥BC.
∴ ABCD是一个直角梯形,它的面积等于
½(a+b)²=2×½ab+½c²,
∴a²+b²=c²
【证法4】(欧几里得证明)
做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状
使H、C、B三点在一条直线上,连结
BF、CD. 过C作CL⊥DE,交AB于点M,交DE于点L.
∵ AF = AC,AB = AD,
∠FAB = ∠GAD,
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,
∵ ΔFAB的面积等于½a²,
ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半,
∴ 矩形ADLM的面积 =a².
同理可证,矩形MLEB的面积 =b².
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴c²=a²+b² ,即a²+b²=c².
【证法5】(利用相似三角形性质证明)
如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中,
∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º,
∠CAD = ∠BAC,
∴ΔADC ∽ΔACB.
AD∶AC = AC ∶AB,
即AC²=AD·AB.
同理可证,ΔCDB ∽ ΔACB,从而有
BC²=BD·AB
∴AC²+BC²=(AD+BD)·AB=AB²,
即a²+b²=c².
【证法6】(利用切割线定理证明)
在RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c. 如图,以B为圆心a为半径作圆,交AB及AB的延长线分别于D、E,则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º,点C在⊙B上,所以AC是⊙B 的切线.
由切割线定理,得
AC²=AE·AD=(AB+BE)·(AB-BD)
=(c+a)·(c-a)=c²-b²
∴b²=c²-a²
即a²+b²=c²
【证法7】(利用反证法证明)
如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是D.
假设a²+b²≠c²,即假设AC²+BC²≠AB²,
则由AB²=AB·AB=AB·(AD+BD)=AB·AD+AB·BD
可知AC²≠AB·AD,或者BC²≠AB·BD.
即 AD:AC≠AC:AB,或者 BD:BC≠BC:AB.
在ΔADC和ΔACB中,
∵∠A = ∠A,
∴若 AD:AC≠AC:AB,
则∠ADC≠∠ACB.
在ΔCDB和ΔACB中,
∵ ∠B = ∠B,
∴若BD:BC≠BC:AB,
则∠CDB≠∠ACB.
又∵ ∠ACB = 90º,
∴ ∠ADC≠90º,∠CDB≠90º.
这与作法CD⊥AB矛盾. 所以,AC²+BC²≠AB²的假设不能成立.
∴a²+b²=c².
当然,勾股定理的证明方法还有很多很多种,以上几种证明方法应用了很多初中数学知识点,在学习过程中还可以对一些重要知识进行复习和回顾。如果你有更好的证明方法,欢迎在评论区分享!
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