統計遭遇數學的尷尬
蘇淳
(中國科學技術大學統計與金融系，230026合肥)
2018年高校招生全國統-考試理科數學試卷I的第20題是一道關於產品檢驗的題目.題目開宗明義，面對的是大批量的產品.產品成箱包裝，每箱200件，每箱先抽檢20件，根據檢驗結果決定是否對餘下的所有產品作檢驗.命題者怕在這裡引起誤會，不可謂不仔細地斟酌了詞句，特別強調了要決定的是“是否對餘下的所有產品作檢驗”,說明這裡的選項只有兩個:要麼對餘下的所有產品都作檢驗(全檢).要麼就都不檢驗(全不檢)，不存在部分檢驗的問題.正是在這種思路的指導之下，誕生了對於第(2)小題(i)的官方解答.
站在統計學的角度來看，這種解答是沒有問題的因為它考慮的是實際需求要檢驗的是大批量的產品，不僅僅是一箱.而是許多許多箱.所以只需對“全檢”與“全不檢”的費用作一比較，以決定是否需要全檢.
問題尷尬的是，它是出在“數學試卷”中的題目，而且它自身又帶有明顯的“數學特點”，這就讓人難以弄清它到底是要考“統計”，還是要考“數學”了，
題目中的第(1)小題要求學生用極大似然估計估計出產品的不合格率，沒有出現“極大似然估計”這個統計學上的名詞，完全用的是數學語言，求函數的極大值點學生理所當然地把它作為數學題來做，求導數，求導函數的零點，觀察導函數的符號，確認P0=0.1就是函數f(p) 的最大值點，
問題出在第(2)小題題目說“對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品、以(1)中的P0作為p的值”p是什麼?題目在大前提中說到，“每件產品為不合格品的概率都是p"，意即p就是不合格率，幸虧學生沒有學習更多的統計知識，也沒有更多時間去思考，否則他們會問:既然“檢驗了20件，發現2件不合格”，那麼為啥不可以直接用頻數2/20=0.1去估計不合格率p,而要繞- 一個圈子去求什麼f(p)的最大值點?你這分明不就是要考我們數學嗎?
其實不然，命題者想考的還是統計，只是礙於學生統計知識不足，無法把問題講清楚、因為嚴格來說統計不是數學，它是一一門處理數據的藝術.出於不同的需求，可以對同一批數據作不同的處理舉例來說，對不合格率的估計，既可以採用頻數估計(又叫作矩估計)，也可以採用極大似然估計，各有各的優缺點，適用於不同的場合,滿足不同的需求.可巧的是在本題的場合下，無論抽檢的20件產品中所發現的不合格品的件數人是多少，兩種估計的結果都是相同的，都是k/20,既然命題者不願意讓學生採用頻數估計，而一定要用極大似然估計，那麼在這裡只有一種理解，那就還是要考數學.要考核學生通過求導求函數最值和最值點的能力
既然這裡是考數學，那麼一-以貫之,通題就應當都按數學問題處理，至少別人按數學問題做了，不能算錯.例如，有人這樣解答第(2)小題(i):
設對剩下的180件產品再抽檢r件(0≤r≤180),將此時的檢驗費用與賠償費用的和記作Y,則有
E(Y)=2r+25(180- r)/10元=450-r/2在r = 180時,E(Y)達到最小所以應對剩下的產品“全檢”.
這種求最小值的處理方式與第(1)小題的精神-致.都是用數學中的最值作為問題的解客.既然(i)中可用最值點作為不合格率的估計，那麼(i)中也可以按最值的標準取含檢驗方案.
更何況，這裡還涉及到邏輯中的如何否定“全稱命題”的問題無論怎麼說，對“全檢”的否定是“不全檢”，包括“部分檢”與“全不檢”.正如不少中學教師指出的,這是中學數學教學中反覆強調的，而且也是作為高考所要考核的內容的.不能在同一-張卷子中體現不同的要求.
事實上，第(2)小題(i)的官方解答中所採用的取捨標準只有具備產品檢驗經驗的人才知道，因為只有面對在大批量產品時，才會只在“全檢”與“全不檢”之間進行選擇.
在我國的本科專業分類中已經把統計學獨立出來，作為與數學並列的一級學科， 就是因為“統計不是數學”.數學的一個基本特徵是“一個問題只有一個答案”，統計學則不然，對同一個問題，可以有不同的答案.例如前面說到的，對同一個參數，可以用頻數估計,也可以用極大似然估計，它們往往會有所不同.在當前大數據時髦的今天，面對同樣的數據，得出不同結論的情況就更為常見
中學裡既然把統計放到數學中來學，那就有一個如何教如何學如何考核的問題，尤其是在出高考題時，更需要考慮周全.前些年我在參與出高考安徽數學卷時，一直把握一條原則，就是大題儘量考概率因為概率是數學，一是一，二是二，不會遭遇尷尬統計則不然，需要謹慎而又謹慎
(1）2018年全國數學卷I第20題不是錯題，無論題目本身還是官方解答，都不存在問題。它是一道關於產品檢驗的統計題，面對的是大批量的產品，考慮的是實際的需求。在這類問題中，對於已經做了“部分抽檢”後的產品，在進一步的行動中只有兩個選項，即“全檢”或“免檢”，不存在“部分檢”的情況。
(2)一些中學師生中所出現的問題主要原因就是過多地從數學角度來看待統計問題，缺乏統計觀念。
(3)我從中學數學教學的實際可能遇到的情況為“民間解法”做了些辯解，主要還是希望能在閱卷時別把它作為錯解對待。但是這絕不意味“官方解答”有錯。即使閱卷時只認“官方解答”，也無可指責，因為這畢竟是一道統計題。
(4)通過這個問題說明了中學教學中在如何教統計學統計方面需要認真對待，不要把統計問題當作數學問題來做。
閱讀更多 老陽講數學 的文章
