問題解決的需要

微積分其實並不是刻意發明和使用的,它分為微分和積分兩個重要部分,統稱微積分,它的出現是科學發展的必然結果,特別是在一些無法解決的問題面前,新的數學工具和思想便應運而生.

當時無法解決的問題:

1.物體運動的路程與時間的關係,物體在任意時刻的速度與加速度等;

2.曲線的切線問題.

3.函數的最值問題,彈道射程問題,行星和太陽的近日點和遠日點問題;

4.求積問題,曲線長、曲線所圍面積和體積問題.

無限思想產生

在沒有解決這些問題之前,數學的研究都停留在有限量的研究上,而原來的思想無法解決以上問題,無限思想的引入為數學提供了源源不斷的活力.

如下圖所示,物理學家們開始從路程相對時間的變化率(也即速度)開始研究.當兩個點A、B無限靠近時,這個變化率相當於過這點的切線的斜率.還記得嗎?高中的導數就是這麼開始學習的.

這個變化率是與曲線本身有莫大的關係,為了表示這個變化率,用下圖這個式子表達,同時,通過大量計算得出了一些常見函數的導數結果,也就是我們現在高中生所學習的求導法則.這就是微分(導數).

同理,為了解決曲邊圖形的面積問題,如下所示,有限思想下是無法解決的,因為並沒有面積分式等;要解決些問題還是應用無限思想,將這些小矩形面積之和來估計面積.當無限分割時,小矩形面積之和就等於曲邊圖形面積.請看下方推導過程.

微積分的發明者牛頓和萊不尼茲,兩人在思想上是一樣的.不可否認的是,微積分的發明,不只在數學上意義重大,從之前的有限到無限的跨越.另外在物理或者其他學科的進步也是巨大的,劃時代的,成為現代數學和物理的基礎.

學霸數學

怎麼求函數y=x^2、x軸、x=1所圍成的面積？在沒有發明微積分這門學科和方法之前，這樣非常“簡單”的問題也是幾乎不可解決的，而有了微積分之後，如今的高中生也可以輕易解答這個幾百年前的這種高深數學問題。那為什麼要發明和使用微積分呢？原因很直接，迫於數學內外各種問題解決的需要。微積分之前，數學的發展幾乎停留在對“有限”的認識上，然而諸多實際問題必然涉及“無限”，那麼一門關於“無限”的學問便也呼之欲出了。

微積分是緊接著函數概念的採用而產生的，其創立首先是為了處理17世紀主要的幾類數學物理問題:1.已知物體的位移-時間函數，求其在任意時刻的速度與加速度；反過來，已知物體的加速度-時間函數，求速度與位移。2.求曲線的切線。3.求函數的最大值與最小值。4.求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心位置、物體（比如行星）作用於另一物體上的引力等。沒有微積分之前，解決這些問題的方法都是複雜而不具普遍性的，這極大地阻礙了科學的發展。

古希臘人用窮竭法計算出了一些面積和體積，但是需要很多技巧，嚴重缺乏一般性。而微積分創立則徹底改變了這一局面，不僅是數學本身，相關的物理，工程等科學領域也發生了巨大變革。複雜的計算變得簡單，含糊不清的關係變得簡單清晰，對宇宙的認識更上一層樓，甚至對哲學的看法也因微積分的產生被改變了不少。微積分的產生與使用徹底改變了人類科學的面貌，可謂整個人類歷史上最偉大的發明創造之一。