一．常量思維中的無限
在數學的發展中，無論在最初的算術，代數還是初等幾何，常量數學是描述現存確定，靜態物體的有利工具。此時作為數量化思維方法或是作為確定形態的空間思維方法，都不會描述和思考有關運動和無限的問題。但是在現實問題中，卻存在著運動的事物，同時也存在著無限的問題。
例如，中西古代數學都在求圓周率時碰到內接或外切多邊形的邊數無限增加的問題。同時作為數量化的思維，人們也自然會遇到正整數無限多的問題。顯然，數量化思維必須把它們作為一類問題給予考慮。
對於古希臘這樣確信世界是按照數學構造的民族而言，在從數量，空間形式思考世界的時候顯然會遇到無限的問題，但是由於古希臘想象世界是由數學方法和諧構造的，因此那些不確定的無限應當從數學中排斥出去。古希臘的數學思維，無論是數量意義還是幾何意義，都回避了無限的問題。
運用這種嚴格的不含明確極限的間接論證方法，古希臘人用正多邊形接近圓，最後用內接正多邊形“窮竭”了圓的面積。這種由公元前四世紀，古希臘學者歐多克索等人確立的方法，被歐幾里得收入《幾何原本》的第十二章中。“窮竭法”使古希臘避免了無限的數學問題帶來的數學思維中的困難。
中國古代數學沒有對無限問題的限制，數學家們在數學思考中，就自然地，直觀地運用了無限地概念。中國古代著名數學家劉徽在用圓內接正多邊形來說明圓地面積時，就認為當圓內接正多邊形地邊數無限增加時，圓地面積就等於圓內接正多邊形的面積。
無論是古希臘對無限問題的拒絕，還是中國古代數學對無限的直觀理解，都可以看出在常量數學的思維中，人們對無限還缺乏深入的理解，無限作為一個數學問題，還沒有成為數學思維中的重要問題。
二．變量數學------無限的數學思維
無限問題的數學思維，數學表述，是由變量數學的發展來實現的。變量數學的發展是由解析幾何提供直觀前提，並且由無窮小計算方法------微積分的創立而最終完成的。
西方在16-17世紀是資本主義的發展時期，自然科學和社會生產提出了一系列的數學問題。這些問題可以大體分為如下四類。
第一類問題是描述非勻速運動物體的軌跡。如天體運動軌跡和各種跑物體的運動軌跡，求變速運動物體的速度，加速度和路程等。
第二類問題是求曲線在某一點的切線，如光線在曲面上的反射問題，運動物體在其軌跡上任一點的運動方向問題。
第三類問題是求變量（函數）的極值，如斜拋物體最大水平距離問題（求火炮最大射程的發射角等），求行星繞日運動的近日點和遠日點的問題。
第四類問題是計算曲線長度，曲邊形面積，曲面體體積，物體的重心及大質量物體之間的引力等。
自然科學對數學的要求，解析幾何提供的點的運行軌跡曲線的直觀描述，使變量進入了數學。以牛頓，萊布尼茨為代表的數學家創立的無窮小的計算方法------微積分的誕生，使數學的範圍擴大，由常量數學進入了變量數學的時代。
牛頓最初建立得微積分學，是從運動得角度來考察數學對象，他把連續變化得量稱為“流動量”，把我們今天稱之為導數得叫做“流數”，稱微分為“瞬”。
人們在常量數學中，無論是對無限大（無窮大），無限小（無窮小）都是採取一種或排斥或直觀接受的觀念，並沒有給予數學意義上的深入思考。然而，變量數學卻把無限的變化給予一種數學上的明確思維。牛頓提出的“瞬”的概念，並不是常量數學中數量和空間圖形的直觀概括，而是一種對無限問題的抽象思維的產物。今天我們知道，微分是一種無窮小的變化極限，而導數f’(x)=dy/dx是該變量之比的極限，是函數微分與自變量微分之商。儘管當時牛頓還沒辦法說清楚無窮小的準確數學內涵，但是把無限的數學觀念確切表示出來，並以此進行數學的運算卻足以表達了變量數學的最重要的一種思維方式，即把無限作為一個確切的數學對象，給予數量化的表述。
三．變量數學思維的意義
在數學史上，解析幾何和微積分誕生的時期，是常量數學向變量數學轉變的重要歷史時期，變量數學的產生是數學史也是科學史的一件大事。它不僅對數學而且對人類科學乃至文明的進程都產生了重大影響。從數學思維的意義上來說，這也是值得紀念的重大歷史時期，解析幾何的問世，把人們數量化，空間化的數學思想完美的結合起來；微積分的問世，使自古以來就有的無限問題得到了一個明確的數學回答。
常量數學向變量數學的發展，無限概念的數學表述，就一切對數學，自然科學以至對人類社會的進步都有著重大的意義。
第一，變量數學的確立，使人們對世界的思考由對靜止物體的數學思維發展到對運動物體的數學思維。運動是一切事物，現象的變化過程，靜止則是事物的一種特殊狀態。從數學的角度思考運動事物，運動過程，給出運動物體的數學描述，數學思考的範圍擴大了，而不是像以前那樣只能描述世界中的一些靜止現象的問題。從這一點上說，數學對運動事物的思考為自然科學研究世界的變化現象提供了強有力的工具。
第二，變量數學的發展，對數學自身的成長起到了重要的推進作用。數學思維方式的擴大，變量數學的發展使原有的各個數學分支在內容上得到了極大的豐富。由於數學思維方式的深刻改變，由於對無限數學表述的確立使一些新的數學分支確立了自己的研究方向，如解析數論，微分幾何就是變量數學的思維方式向傳統數學和傳統幾何滲透的結果。由於變量數學在自然科學中的廣泛應用，又派生了新的數學分支，如微分方程，實變函數，泛函分析等。可以認為變量數學中數學思維的發展，不僅對當時的數學而且對以後的數學發展產生了長時間的影響。
第三，無限的概念，無限的數學思維在微積分中的出現，使人類認識世界的能力有了提高。數學的思維無論是在數量意義上還是在空間意義上都具有巨大的潛力，但是有關無限的思考卻長時間地受到限制，以致於無法在數學中將它明確地表述出來。無窮小在微積分中的確立，使人們第一次對無限的現象給出一個確切的如同常量意義的表述。這是人類用已有知識形式，符號形式表示運動的無限的變化趨勢。正是由於運用無窮小的成功，才使人們大踏步進入了無限的鄰域並由此展開了有關無限的數學思維。
儘管牛頓和萊布尼茨的微積分還沒有給出無限的準確描述，當時的西方世界也曾對無窮小的存在和數學表述提出過批評。但是微積分作為實際應用的廣泛成功，使人們默認了有關無限問題最初的數學描述。有限，無限，運動，靜止這些描述事物變化的哲學範疇，有了數學的具有確切內涵的表述。數學的確定化，邏輯化以及有關無限的思維方式不僅影響了數學的發展，實際上也影響整個人類的思維方式。
閱讀更多 STEAM新數學 的文章
