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如果我們把一些數字排成一排，就構成了一個數列。比如最簡單的自然數列：1、2、3、4、5….偶數的數列2、4、6、8…等，後一項與前一項之差是不變的，這種數列稱為等差數列。在比如1、2、4、8、16…這樣的數列，後一項和前一項的比例是不變的，稱為等比數列。
在自然界中，有一個最為神奇、幾百年來一直被人們熱議的數列，那就是“兔子數列”。
斐波那契
在中世紀的歐洲，由於宗教原因，科學和數學的發展非常緩慢。歐洲人還習慣於使用羅馬數字計數。羅馬數字一共有7個數字，分別是：Ⅰ（1）、Ⅴ（5）、Ⅹ（10）、Ⅼ（50）、Ⅽ（100）、Ⅾ（500）和Ⅿ（1000）。它的計數規則也比較複雜，比如，把兩個數字並排，如果右邊的數字比左邊的數字小，則表示兩個數字相加；如果右邊的數字比左邊的數字大，表示兩個數字想減。此外還有許多複雜的規矩，使用起來非常不方便。
十二世紀時，歐洲數學才有了復甦的跡象。由於與阿拉伯國家的貿易和十字軍東征等原因，歐洲同阿拉伯世界發生了聯繫，發現此時的阿拉伯正在使用1234567890這樣的符號表示數字，十分方便。由於這種數字是從阿拉伯國家學習到的，所以稱為阿拉伯數字。但是實際上，在公元前三世紀，印度人就已經在使用類似的方法表示數字了，阿拉伯數字是印度人發明的。在公元7世紀時，這種數字傳入阿拉伯，後來又通過歐洲傳播到全世界。
斐波那契（也叫做比薩的列奧納多）是一個意大利數學家，年少時隨著父親在北非做生意，學習了阿拉伯數字。1200年他回到了意大利，在1202年寫成了著作《計算之術》，這本書對歐洲的數學界有很大的影響。
兔子數列
在這本書中，斐波那契提出了一個問題：
在第一個月有一對剛出生的小兔子，在第二個月小兔子變成大兔子並開始懷孕，第三個月大兔子會生下一對小兔子，並且以後每個月都會生下一對小兔子。 如果每對兔子都經歷這樣的出生、成熟、生育的過程，並且兔子永遠不死，那麼兔子的總數是如何變化的？
我們不妨先來看個圖：
第一個月只有一對兔寶寶，1對兔子。
第二個月兔寶寶變成大兔子，1對兔子。
第三個月大兔子生了一對兔寶寶，一大一小2對兔子。
第四個月大兔子繼續生一對兔寶寶，小兔子變成大兔子。兩大一小3對兔子。
….
我們把這個數列列表
我們發現會發現以下幾個規律：
前一個月的大兔子對數就是下一個月的小兔子對數。
前一個月的大兔子和小兔子對數的和就是下個月大兔子的對數。
按照這個表格，我們會發現無論是小兔子對數、大兔子對數還是總對數，除了最初幾個數字不一樣之外，後面都是按照1、1、2、3、5、8、13…變化的，這個數列就稱為兔子數列或者斐波那契數列。
兔子數列最大的特點就是前兩項之和等於後一項，比如1+1=2、1+2=3、2+3=5、3+5=8、5+8=13…
我們用an表示一個數列的第n項，那麼斐波那契數列的規律就是
這種式子稱為遞推式，也就是說可以從前面一項或幾項，計算出後面一項的式子。再結合前兩項a1=a2=1，就可以得到後面任意一項了。
神奇的數列
也許許多人覺得，斐波那契數列不過是浩如煙海的數學海洋中的一滴水。但是實際上，從這個數列被提出的那一天起，幾百年來人們在許多領域都發現了它的影子。
在數學上，許多求“方法數”的問題，答案都是斐波那契數列。例如：如果我們要上一個N級臺階的樓梯，每次只能走1格或者2格，那麼一共有多少種走法呢？
如果只有一級臺階，顯然只有1種走法。
如果有兩級臺階，顯然可以走一步，也可以走兩步，因此有2種走法。
如果有三級臺階，就有如圖所示的3種走法。
1、2、3這三個數字都是斐波那契數。那麼，如果有更多臺階怎麼辦呢？這就需要遞推式了。
由於一步最多走連兩個臺階，因此要到達第N級臺階，有兩種方案：
走到第N-1級臺階上，然後走1級臺階跨到最上方；
走到第N-2級臺階上，然後一步走兩級臺階跨到最上方。注意，從第N-2級臺階走1級到N-1級臺階這種情況已經計算在第一種情況中計算過了。
我們用a(N-1)和a(N-2)分別表示走到第N-1級和第N-2級臺階的方法數，那麼走到第N級臺階的方法數就是：
aN= a(N-1)+ a(N-2)
顯然，這就是斐波那契數列的遞推公式，因此走臺階問題的解剛好是斐波那契數列。
生活中最典型的斐波那契數列應用是在植物學中。
大樹在生長的過程中會長出分枝，如果我們從下到上數分枝個數，就會發現依次是1、1、2、3、5、8、13…等等，剛好是斐波那契數列。有科學家對這種現象的解釋是與兔子繁殖後代相同：每過一段時間老樹枝都會萌發新芽，而新芽成長為成熟的樹枝後也會每隔一段時間萌發一次新芽。
另一個神奇的例子就是向日葵等植物。
如果我們仔細觀察，就會發現向日葵盤內的種子形成兩組螺旋線，一組是順時針的，另一組是逆時針的。而這兩組螺旋線的條數剛好是兩個相鄰的斐波那契數，小向日葵是34和55，大向日葵是144和233。松果種子、菜花表面也有類似的規律。
有科學家認為：這種排列可以使得種子的堆積最密集，最有利於植物繁衍後代。
八百年來，人們在各個領域都發現了斐波那契數列。尤其是十九世紀開始，人們發現了斐波那契數列在計算機、物理、化學等領域的應用，這個古老的數列煥發了新的青春。1963年，斐波那契協會成立，並出版了《斐波那契季刊》用以刊登與斐波那契數列相關的研究成果。
李永樂老師
斐波那契數列是指這樣一個數列，{1,1,2,3,5,8,13,21.....}，它的首項為1，第2項也為1，且從第3項起，每一項都等於它前兩項之和。用符號定義如下：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）;如：8=3+5（第6項=第4項+第5項）。
一 緣起
斐波那契數列緣起於著名的“兔子問題”：
設有一對新生的兔子，從第3個月開始他們每個月都生一對兔子，新生的兔子從第3個月開始又每個月生一對兔子。按此規律，並假定兔子沒有死亡，n個月後共有多少對兔子？
解析如下：
我們用f(n)表示第n月時的兔子的對數，則
f(1) = 1(第1個月有一對兔子）
f(2) = 1(第2個月還是一對兔子）
f(3) = 2(原來有一對兔子，第3個開始，每個月生一對兔子，故共有2對。）
f(4) = 3(原來有兩對兔子，有一對可以生育）
f(5) = 5(原來有3對兔子，第3個月出生的那對兔子也可以生育了，那麼現在有兩對兔子可以生育）。。。。
以此類推，我們可以得到第n月的兔子對數滿足斐波那契數列{1,1,2,3,5,13.....}。
二 斐波那契數列與黃金分割
斐波那契數（即1,2,3,5....）與黃金分割數≈0.618有著密切聯繫，下面從前往後對斐波那契數作除法。
1/2=0.5000
2/3≈0.6667
3/5=0.6000
5/8=0.6250
8/13≈0.6154
13/21≈0.6190
21/34≈0.6176
34/55≈0.6182
.....
我們發現，其比值越往後，越逼近黃金分割數0.618...。
三 黃金螺旋線
以斐波那契數1,1,2,3,5....等為邊長構造正方形，再按下圖拼成長方形，最後內部畫半圓，首位連接可得到黃金螺旋。![]()
黃金螺旋在生活中有很多運用。
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黃金螺旋在生活中有很多運用。
數學原來如此
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電腦週刊
斐波那契數列是最早被印度的多個數學家 Pingala (公元前200 )，Virahanka （公元 700），Gopāla （公元1135）和 Hemachandra （公元1150）研究並提出的。之後被意大利比薩公國的列奧納多·德·比薩，也就是斐波那契（Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年）引進到了歐洲，因此這個數列也因他而命名。
斐波那契是中世紀意大利著名的數學家，也被譽為中世紀歐洲最具天賦的數學家。1202年，他下並出版了著作《算術全書》（Liber Abacci），其中書中包含了許多希臘、埃及、阿拉伯以及印度，甚至是中國的數學問題。他也是當時已知的第一位研究印度、阿拉伯數學理論的歐洲人。斐波那契數列是被作為一個例子而引入到這本《算術全書》之中去的。
這個例子就是以兔子的繁殖為例，所以又稱作是“兔子數列”，即1、1、2、3、5、8、13、21、......。這個問題的描述如下圖：
拋開數列的推導不談，就談在歷史上，斐波那契數列與自然科學、美學與藝術的關係。首先，科學家在很多自然生長的植物上發現，花瓣、花萼、或者果實的自然排列都符合斐波那契數列。此外，相鄰兩個斐波那契數的比值是隨序號的增加而逐漸趨於黃金分割比的，也就是說在歷史上許多的科學家以及藝術家都嘗試著研究這組神秘數字，希望可以通過研究解開“美”的密碼。斐波那契螺旋也被稱作是黃金分割螺旋。這個分割螺旋或許會更為大家所熟知，因為在美術中，畫面的構圖中，符合斐波那契螺旋比例的構圖，往往恰好就是被許多人稱之為“完美”的構圖。有關斐波那契數列還經常出現在文學作品中，尤其是有關推理或者神秘學的作品中。著名的小說《達芬奇密碼》中，這個數列可以說是一直貫穿其中，因為達芬奇不僅是一個美術家，也是一個博學家，數學家。
