經歷了10年的鑽研，明斯特大學數學研究所的Raimar Wulkenhaar教授，與牛津大學的Erik Panzer博士，解決了一個被認為是不可解的數學方程。這個方程是用來
解答基本粒子物理學提出的問題的。在本文中，我們將跟隨著Wulkenhaar教授，一同回顧在尋找解決方案的過程中遇到的挑戰與驚喜。
△ 一個看似不可解的方程。| 圖片來源：WWU/Raimar Wulkenhaar
這是一個包含兩個變量的非線性積分方程。這樣的等式非常複雜，很難相信會存在任何公式作為問題的解。單是兩個變量本身就是一個挑戰，更何況，數學家並沒有明確的方法來尋找非線性積分方程的解。
然而，在過去的十年中，希望之光一次又一次閃現，最終Wulkenhaar與合作者排除萬難，終於確信，找到問題的明確解決方法（通過已知的函數來表達）實際上是可能的。
方程表達的是對量子場論的數學理解，屬於物理領域，可以應用於大尺度實驗，例如CERN進行的粒子對撞實驗中。目標是從數學上描述基本粒子。然而，問題非常複雜，以至於事情不得不反過來進行，也就是說，用實際粒子的確定屬性來對構想的粒子進行數學描述。希望有一天，實際粒子可以利用通過這種方式確立的方法來描述。
在五月末，Wulkenhaar嘗試了一個新的想法，這個想法決定性的靈感來自於他的博士生Alexander Hock。他解出了一個新的方程，比之前的方程更為簡單，然後開始逐層求解。這意味著，一步一步，循環迭代，將上一步計算所得的方程的左邊，在下一步代入方程的右邊。
在第四層循環迭代時，需要計算46個積分的和，其中包含多重對數函數（polylogarithm）。這些多重對數函數在每一次循環中都變得更加複雜。幸運的是，在最終求和的時候，幾乎所有的部分都抵消掉了，剩下的只是簡短的普通對數函數的指數之和。他立刻意識到，這其中蘊藏著寶藏。
△ 多重對數函數是一種特殊的冪級數，也可以表示為自身的積分，形成一種迭代的結構。在量子力學中，多重對數函數表現為費米-狄拉克分佈與玻色-愛因斯坦分佈的積分的封閉形式。圖中顯示的是複平面上幾種不同的多重對數函數。| 圖片來源：Wikipedia 。
第五層循環迭代求解起來不那麼容易，但這次幸運仍然伴隨著他。在法國阿爾卑斯山的一個暑期學校，Wulkenhaar有機會與研究這些方程的專家交談，其中一位專家是牛津大學的Erik Panzer。他曾寫過關於符號數學中的超對數（hyperlogarithm）的計算機程序，並且提供了支持。
一夜之間，程序就進行到了第七層循環。計算機程序驗證了Wulkenhaar求解到第四層循環的結果，之後，奇蹟繼續進行，一切都被分解為普通的對數函數。一種模式出現了！
或許你還記得學生時代學過的作為二項式係數的帕斯卡三角形（Pascal's Triangle）吧？在帕斯卡三角形中，每一個數字是它上面的兩個數字之和。
△ 帕斯卡三角形，又稱楊輝三角形，常用來表述二項式係數。三角形中每一個數字是上面兩個數字之和。| 圖片來源：Wikipedia
Wulkenhaar在循環中發現的正是像這樣的三角形結構，或許只是比帕斯卡三角形複雜一點。
在6月9日，第8、9兩層循環完成了。然後，最重要的時刻到來了。Erik Panzer破解了一個所謂的遞歸公式，它能夠從三角形的上一行產生下一行的數字，他們因而得以從已知推斷未知。
這時，Wulkenhaar意識到，他們將會解決這個問題。他慶幸地說：“沒有人會如此幸運”。
第二天，Wulkenhaar成功地將方程的一部分簡化為一個簡單的導數級數。最初，其餘的問題看起來很困難。到了深夜的時候，他突然想到用柯西公式（Cauchy formula）來求解問題，這個嘗試被證明是對的，接下來的一步，他使用了一個經常看到的公式。他意識到它可以用朗伯W函數（Lambert W function）來求解。
△ 柯西積分公式是複分析的一個重要結論，以數學家柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789-1857）的名字命名。柯西積分公式表明，任何一個閉合區域上的全純函數，其區域內部的積分值完全取決於區域邊界上的值。
幾分鐘後，Erik Panzer的郵件來了：他也想到了朗伯函數，不過是通過一條完全不同的路徑。結果，他們解決了10年來看似不可解的問題——得到描述量子場論的積分方程的解。Wulkenhaar感嘆：“這真是太不可思議了！”
朗伯W函數。
朗伯函數是以瑞士數學家約翰·海因裡希·朗伯（Johann Heinrich Lambert，1728-1777）的名字命名。這個方程出現在很多不同的問題中，例如費米-狄拉克分佈、玻色-愛因斯坦分佈。因為對朗伯的基礎性工作缺乏認識，歷史上，朗伯函數被“發明”了一遍又一遍，直到1993年，才將朗伯函數確立為標準。
方程的解，其中包含朗伯函數W與尼爾森函數N。 | 圖片來源：WWU/Raimar Wulkenhaa
Wulkenhaar在求解過程中用到了很多18世紀發展的方法，它們幾乎完全被遺忘在歷史的塵埃裡了。正是這些舊的公式幫助了他。
Wulkenhaar還用拉格朗日-布爾曼公式（Lagrange-Bürmann formula），和朗伯函數、柯西公式一起，解決了一個積分問題。總的來說，數學領域對於前人給予很大的尊重。歐拉、朗伯、拉格朗日、柯西、高斯、希爾伯特這些名字被銘記在公式中，表達著對於他們成就的最高認可。
然而，有兩個現代工具幫了Wulkenhaar的大忙：維基百科與計算機。他可以通過維基百科檢索到眾所周知、抑或鮮為人知的關於數學結構與方程的信息。而計算機能夠以手算無法比擬的速度求解方程，並且不犯任何錯誤。
△ 尼爾森函數也是方程解的一部分。Raimar Wulkenhaar 和Erik Panzer 在他們的工作中定義了這個新的函數。| 圖片來源：WWU/Raimar Wulkenhaar
方程的解當中出現了一個新的函數，被命名為尼爾森函數（Nielsen function）。當一切都被理解得更好，比如說尼爾森函數與其他函數是如何聯繫起來的，他們將提交自己的研究成果。之後，Wulkenhaar將繼續一項從2002年就開始研究的問題，這個問題也與量子場論有關。
撰文：Christina Heimken
原文鏈接：
https://phys.org/news/2018-08-mathematician-discusses-seemingly-unsolvable-equation.html
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