引言：這篇文章想從最初級問題出發，談談自己對數學建模的認識，希望能起到拋磚引玉的作用。數學方法和數學思想是我們在教數學過程要中不斷滲透的東西，直到我們養成用數學思維來思考現實問題，並尋找科學的解決辦法的習慣。
問題 有5位同學春節見面，每2人之間握一次手，一共要握手多少次？
分析 對於小學三年級的學生直接用組合計數公式，不是因材施教。我們用5個點來表示這5位同學，2人之間握一次手，就連一條弧線(或線段)表示，那麼第1位同學與後面4位同學就要握4次手，連4條弧線(或線段)，如圖
數學建模--從握手說開去
第2位同學已與第1位握過了，因此只需要與後面3位同學就要握3次手，連3條弧線(或線段)，如圖
數學建模--從握手說開去
類似的，第3位同學與後面2位同學連2條弧線(或線段)，第4位同學與後面1位同學連1條弧線(或線段)，由此總的握手次數為4+3+2+1=10(次)，如圖
數學建模--從握手說開去
1.1外在形式的拓展
上述分析過程其實就是將現實問題進行數學建模。將人抽象為數學上的點，將握手這種關係抽象為弧線(或線段)。它的抽象數學模型如下圖所示，問這5個點之間可組合成多少條線段？
數學建模--從握手說開去
用數學方法解決現實問題的關鍵就是建立合適的數學模型，建立數學模型的過程也是深入觀察分析現象，發現事物本質規律的過程，是從具體到抽象，從特殊到一般的過程。一旦模型建立起來，那麼外在形式炯異的同本質問題都被解決。
看看此模型的同類數學問題。
5人春節電話拜年，每兩個之間通一次電話，一共要通幾次電話？
5位同學照相，每兩人之間合一張影，這樣的合影一共要照幾張？
5支隊參加比賽，每兩個隊之間比一場，一共要進行多少場比賽？
5座城市之間開通航班，每兩個城市之間開通一條航線，一共要開多少條航線？
……
從數學模型回到具體問題，就是將模型中的點與線重新替換成具體的對象。因此，問題的形式還可以進行一步演變。例如，下圖中5條射線一共組成多少個角（銳角）？將上述數學模型中的點看作射線，弧線(或線段)看成兩條射線組成的角。
數學建模--從握手說開去
如果將點看作垂線段，連線看作垂線段是與上下平行線組成長方形，問題就是兩條平行線上畫5條垂線段一共組成多少個長方形？如圖
數學建模--從握手說開去
如果點就是一條直線上的點，連線看作是固定點O與直線任取兩點(線段)構成三角形，問題就是下圖中一共多少個三角形？如圖
數學建模--從握手說開去
這些問題似乎大不一樣，從數線段到數角數長方形數三角形……但本質上仍然是一致的，都可以歸結為上述數線段的數學模型。
此外，注意到，建模時沒有理由要將這些點畫在一條直線上，即這些點是可以不共線的。因此，初始模型也可以是下圖。
數學建模--從握手說開去
也可以從集合論的角度建模，將5個人建模成一個含有5個元素集合，每2個人之間的有某種關聯相當於將2個人捆綁成一組，建模為含有2個元素的子集。實際問題就建模成“含有5個元素的集合一共有多少個含有2個元素的子集？”
1.2數量規模的拓展
這些問題都是5個點中考慮2個點的關係問題，當然不能侷限於5個點，而且有些關係只能發生在2個對象之間，但有些關係可以發生在3個甚至更多的對象之間。 比如，10位同學每3位同學合一張影，一共要照多少這樣的合影？
n個點中每2個點分組時，由前面的類似的分析建模可知，第1個點與後面n-1個點就要連n-1條弧線(或線段)，第2個點與後面n-2個點連n-2條弧線(或線段)，…，第n-1個點與最後1個點就要連1條弧線(或線段)。如下圖
數學建模--從握手說開去
因此，總數為
數學建模--從握手說開去
n個點中每m(m>2)個點分組時，由於m(m>2)個點之間的關係不能由弧線(或線段)表示，用一條直線上的點線建立的數學模型失效。但是當m>2時，m個不共線的點是可以構成m邊形的。用上述不共線的點線模型和集合論建立的模型仍然有效，問題分別變為“含有n個不共線的頂點（即n邊形）中一共有多少個m邊形？(當m=3時通常說是三角形而不說三邊形)”以及“含有n個元素的集合一共有多少個含有m個元素的子集？”
這需要用到分步與分類（排列與組合）的知識來解決了。
1.3空間維度的拓展
問題1 下圖中有多少個長方形？
數學建模--從握手說開去
問題2 下圖中有多少個三角形？
數學建模--從握手說開去
這兩個問題已經不再一維直線的思維，而是二維平面的思維，還可以拓展到三維上去，比如，魔方中有多少個長(正)方形？甚至抽象的多維上去，那就沒有止境了。上述兩道題的解答要用到分步思想（乘法法則），我在後面的主題中詳細介紹。
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