作者注：2018年8月11-12日，我們有幸參加了于山東大學威海分校召開的第八屆數學文化論壇，並做了關於20世紀英國大數學家哈代(G. H. Hardy)的通俗報告。蒙好玩的數學厚愛，我們在這裡給出一個修訂的文本（略去了比較專業的數學部分），分享給各位讀者。（編輯注：本文作者林開亮任教於西北農林科技大學，陳見柯任教於中國傳媒大學，文末附PPT 下載方式。）
哈代（1877--1947）
一、動機
之所以要研究哈代，有以下四個動機：
1. 哈代在20世紀數學史上有重要地位，他復興了英國的純數學研究；
2. 哈代有許多故事，他與拉馬努金，維納等20世紀的許多大數學家都有互動；
3. 今年恰逢哈代與拉馬努金開創圓法100週年。
4. 哈代深深地影響了作者一直研究著的兩個人：華羅庚與戴森(Freeman Dyson)。
哈代曾說“年輕人應該證明定理，年長者可以寫書”，他自己就寫了許多膾炙人口的著作，例如隨筆《一個數學家的辯白》，《純數學教程》、《數論導引》等教材。哈代的名字在數學愛好者中間是熟悉的，但讀者也許想對他有更多的瞭解。我們在前人工作（見參考文獻）的基礎上做出了嘗試，以下是一個簡單的介紹。
二、履歷
1877， 生於英國克利蘭
1890， 溫徹斯特學院
1896-1900，劍橋大學三一學院
1900-1906，三一學院研究員
1906-1919，劍橋大學講師， (1910， 當選為英國皇家學會院士， 注：相當於科學院院士)
1911，與李特伍德開始長達35年的合作，合作近100篇論文
1913，發現拉馬努金（“一生中最大的數學貢獻”）
1919-1931，牛津大學教授（“達到一生中的頂點”）
1931-1942，劍橋大學教授
1942，退休
1947，卒於劍橋
三、著述
自1900年做研究員起，哈代一生一共發表375篇論文，彙集成7卷論文集，出版11部著作，其中《純數學教程》（微積分教材）、《不等式》、《數論導引》多次重印再版、已成經典。除了兩本在牛津大學出版，其它9本均由劍橋大學出版。
1905 《單變量函數的積分》
1908 《純數學教程》
1910 《無窮大的階》
1915 《狄利克雷級數通論》.(With M. Riesz.)
1934 《不等式》(With J. E. Littlewood and G. Polya.)
1938 《數論導引》. (With E. M. Wright.) (牛津)
1940 《一個數學家的辯白》
1940 《拉馬努金》
1942 《羅素和三一學院》
1944 《傅里葉級數》.(With W. W. Rogosinski.)
1948 《發散級數》 (牛津)
注： 藍色標記的表示有中譯本。
哈代的書非常受歡迎，以下是摘取的一些來自名家的推薦：
楊振寧：
同學們要我舉出對我影響最深的書，一本英文的，一本中文的。這個問題很難回答，因為世界上書太多了。不過我想可以換一個說法，推薦幾本有意思的書。先講數學。我在大學一年級的時候，我父親從圖書館借來一本《純數學教程》，這是英國的一個大數學家[注：即哈代]在二十世紀初寫的。我看了這本《純數學教程》之後大開眼界，什麼緣故呢？因為世界上所有的數學在開始的時候都是教小孩子像1，2，3，4……整數、分數、小數。但是，對整個邏輯系統沒有注意。這本書整個方法是從邏輯的系統開始的，這使得當時16歲的我忽然瞭解到，數學的結構原來還可以有另外一種看法，這對我是一個很大的啟發。這本書很有名， 相當於大學一二年級數學的程度， 可是它吸取了近代數學的精神，對任何一個對數學有興趣的同學我都推薦。也許今天在這兒這種人很少, 可是你們也許會對他另一本書發生興趣。這本書叫《一個數學家的辯白》。這是一個俏皮話, 他的意思，他整本書就是說 , 他認為數學是純粹的藝術, 是沒有用處的。他說他一生最得意的事情，就是沒做過任何有用處的事情。他非常會寫, 所以, 他把這樣簡單的一句話寫成一本小書。這本小書——我想——從文學的立場講起來，是寫得非常之好的, 而且裡頭有很多的小故事。
懷爾斯：
我非常幸運地受教於一位研究過數論的中學數學老師。在他的建議下，我搞到一本絕妙的書——哈代與賴特合著的第四版《數論導引》。這本書與達文波特的《高等算術》一起，成為引導我進入這一領域的至愛書籍。通過搜索這部《數論導引》來尋找有關費馬大定理——我已經對此問題著迷——的線索，我第一次領略到數論真正的廣博無限。
鍾開萊：
當前數學的全部或一大部分果真有成為有用之時麼？不久前，我以此詢問韋伊教授，當時他正在斯坦福大學作有關歐拉的演講。他回答說不，他先說到哈代在《一個數學家的辯白》一書中答覆過此問題。我知道這本書。我第一次讀它時，尚是個單純的青年，對哈代信服之至。請允許我離題講述一件事：1936年，我就讀於清華大學時，哈代所著《純數學教程》是一年級微積分參考書之一，正是此書使我開始從物理學轉向數學，至今我仍不忘哈代所指出的：教授微積分應從n的函數而不是從 x 的函數開始。（諸君也在課堂上試一試看！）
注：同一屆，從清華物理系轉到數學系的有三位：鍾開萊、嚴志達和王憲鍾，鍾開萊先後追隨華羅庚、許寶騄學習，是許寶騄的研究生，而後兩位都是陳省身的學生，王憲鍾是陳省身的第一位研究生（當時在西南聯大）。今年恰逢王憲鍾（1918-1978）誕辰100週年。
四、《辯白》賞析
在公眾視野中，哈代最引人注目的作品是1940年出版的隨筆《一個數學家的辯白》（以下簡稱《辯白》），向讀者傳遞了他的數學觀。哈代的許多觀點都引起讀者共鳴或反駁，因此常常被引用。我們選取部分與讀者欣賞。
有許多相當高尚的動機引導人們去從事某項研究，但有三點比別的更重要：
首先是智力上的好奇心（如果沒有這一點，其他的都站不住腳），渴望探知真理；其次是職業上的自豪感，渴望對自己的工作感到滿足；最後是要有雄心，渴望得到名聲、地位甚至隨之而來的權力和金錢。
如果智力上的好奇心、職業上的自豪感和雄心是研究的主要動力的話，那麼的確沒有什麼職業比數學家更有機會滿足這些條件了。
對於雄心，哈代特別寫道：
人的第一責任，至少對於年輕人來說，是有雄心。
這不禁讓我們聯想起《新上海灘》裡大佬馮敬堯對接班人丁力的點撥：
回到《辯白》，個人認為，其中最吸引人的觀點，是他哈代對於數學之美的評述，例如：
數學家跟畫家或詩人一樣，也是造型家。如果說數學家的造型比畫家和詩人的造型更永恆，那是因為前者是由思想塑造的。畫家造型用形與色，詩人則靠遣詞造句……
與畫家或詩人的造型一樣，數學家的造型也必須美；與色彩或語言一樣，思想也必須和諧。美是首要的標準，醜陋的數學在人世無永久的立足之地。
數學家是思想的造型家，而美與嚴肅則是評價其造型的標準。
哈代在《辯白》中選取的兩個美的數學的例子分別是：素數之無窮（有興趣的讀者可參見從“三七二十一”到“素數之無窮”）、2的平方根之無理。並進一步提到
在數論中，人人都能欣賞的漂亮定理比比皆是。例如，有一個所謂的算術基本定理：任何整數都可唯一分解成素數的乘積。……另一個著名的漂亮定理，是費馬的二平方和定理。……(數論中許多最優美的定理，例如二次互反律)
哈代對於數學之美的論述，令人想起王國維的《人間詞話》，他二位對美都有極高的品位。順便說一句，與哈代一樣，王國維也是1877年出生，而鮮為人知的是，王國維也對中國近代中小學數學教育作出了重要貢獻。
哈代在《辯白》中最引起爭議的，是他對數學無用的觀點：
只有少部分數學有用，而即此少部分也較為乏味，真正數學家的真正數學（無論其為應用數學或純粹數學），即費馬、歐拉、高斯、阿貝爾、黎曼的數學，幾乎全部無用。如能解釋真正數學的存在，則應解釋為藝術。
……我從未做過任何有用的事情。
例如，他生前非常賞識的後生萊文森1970年曾專門寫文章反駁過這一觀點，標題是Coding Theory: A Counterexample to G. H.Hardy's Conception of Applied Mathematics. 萊文森說，編碼理論就用到了純數學，特別是伽羅瓦所發現的有限域的理論。
哈代寫《辯白》是在第二次世界大戰期間，他特別提到了數學與戰爭：
有一個結論是真正的數學家感到坦然無懼的，那就是，真正的數學對戰爭毫無影響。至今還沒有人發現，有什麼火藥味的東西是數論或相對論造成的，而且看來以後很多年也不會有人能夠發現這類東西。
顯然，他沒有預見到基於相對論基本結果 E=mc^2 的原子彈竟然會在他有生之年的某一天應用於戰爭、乃至結束二戰，而最初為戰爭服務的編碼（有許多是基於數論）現在也應用於日常生活中，比如保障了你銀行卡的密碼安全。
哈代在強調數學職業的優越性，同時也指出，做數學與當和尚修行截然不同：
當這個世界都瘋狂了的時候，數學家可能發現數學是一種無與倫比的鎮靜劑。因為數學在一切藝術和科學中是最為陽春白雪的，數學家應該是所有人中最易於找到象牙塔的人。正如羅素所說，在這座象牙塔中，“我們較為高尚的感情衝動中至少有一種，能夠完全逃脫現實世界沉悶的流放。”可惜的是，這裡一定要提出一個非常嚴格的限制條件：這樣的一位數學家的年紀不能太大。數學不是冥思苦想的修行，而是一門創造性的學問，凡是失去創造力和創作欲的人，都不能從中得到很多慰藉；這是數學家要不了多久就可能碰到的情況[注：可能有很多人感覺中槍了，如我們]。可是到了那樣的境地，他也就不是什麼重要角色，也不必為他操心了。[好了，請大家也不必為我們擔心了。]
插話：哈代對羅素講
如果我能通過邏輯證明你將在五分鐘之內掛掉，我會為你的將掛而傷悲，
不過我的傷悲很快就會被證明的樂趣覆蓋。
這句話主要表明，哈代欣賞證明的力量。
哈代在《辯白》中多次提及數學創造力的與時俱下，例如：
每個數學家都應謹記，比起其他任何藝術和科學，數學更是年輕人的遊戲……[注：菲爾茲獎只頒發給40歲以下的數學家，因此懷爾斯沒有得到菲爾茲獎]
伽羅瓦在21歲去世，阿貝爾在27歲去世，拉馬努金在33歲去世，黎曼在40歲去世。曾經有一些人在相當晚的時候才做出偉大的工作。高斯關於微分幾何的論文在他50歲時才發表（不過他在十年前就有了基本的想法）。我從沒見過哪個年過半百的數學家開創重大的數學進展。[注：他確實沒有見過張益唐！]
如果一個處於成熟年齡的人對數學失去了興趣，放棄了數學，這無論對於數學還是對於他，損失都不像是有多麼嚴重。
一個數學家到了60歲也許仍然很有能力，但不能期待他有原創性的思想。
五、哈代的數學工作及其影響
哈代在數論、函數論、不等式等領域皆有重要貢獻，此處相對專業，我們略去。我們只提一點，哈代在zeta函數方面的工作、哈代與拉馬努金在劃分數方面的工作、哈代與李特伍德在華林問題方面的工作，哈代在不等式方面的工作，對塞爾伯格、閔嗣鶴、拉德梅赫、華羅庚、陳景潤、陳木法都有深遠的影響。
此外，哈代對遺傳學也有貢獻，著名的哈代-溫伯格原理，就是哈代的板球友向他請教孟德爾遺傳理論的結果。
六、哈代對英國本科數學教育的貢獻
哈代認為，英國的數學如此落伍，根源就在Tripos制度。Tripos是劍橋大學本科生的榮譽學位考試。起初，這個制度是為了達到一個並不太高的目標——決定申請（學士）學位者水平的高低——所用的手段；後來Tripos本身反而變成目標。在哈代看來， Tripos本意是用來提拔英國數學未來的帶頭人，結果反而成了他們的枷鎖。
他後來對倫敦數學會報告說：
依我看，這個制度在原則上就不對，其腐敗的程度並非改良二字可以解決。我不贊成改良，這個制度根本就應取消。
在幾位比較年輕的資深同事的共同努力下，哈代終於讓管理校政的理事會很不情願地答應了一些改革。最主要的就是分等而不再排名次。從1910年開始，Tripos只分優等、二等和三等“優等第一”這個頭銜被取消，從而減輕了不少壓力，也用不著再為奪魁而聘請私人教師。
劍橋大學數學系本科生主頁（https://www.maths.cam.ac.uk/undergrad）上的一個Tripos考題：
如圖，證明人在深水中平穩游泳時激起的波浪其夾角總是2arcsin(1/3)。
七 、哈代的歷史地位
1930年成立普林斯頓高等研究所時，所長弗萊克斯納在全球物色一流的數學家時，得到專家（應該是普林斯頓大學的維布倫）的如下答覆：
牛津的哈代和哥廷根的外爾是世界上數一數二的數學家，而伯克霍夫則是美國最好的數學家。
外爾是希爾伯特的衣缽傳人，陳省身先生曾對他有下述評價：
歷史上是否會再有像外爾這樣廣博精深的數學家，將是個有趣的問題。
哈代與外爾差別明顯，借用哈代的學生戴森飛鳥與青蛙的著名比喻，哈代是典型的青蛙，他坦承自己是一個解題者，而外爾則是公認的飛鳥。
他們都不遺餘力地提攜後進，他們先後影響指引了華羅庚。哈代和華羅庚都沒有博士學位，他們在本國的地位和作用相當。
注：作為20世紀的重要數學人物，哈代、外爾、華羅庚都值得我們深入探究。
八、致謝
感謝數學文化論壇組委會給我們機會做報告。本報告的構思與準備得到了中科院數學所嚴加安院士、密歇根大學季理真教授、首都師範大學趙學志教授、浙江大學蔡天新教授、南方科技大學歐陽順湘教授、天津大學劉志新教授的啟發與幫助，特表感謝！
感謝馬志明院士和張益唐教授在報告現場對報告提出有價值的建議和評論。
請大家批評指正！
九、參考文獻
[1]哈代，《一個數學家的辯白》，李文林等編譯，大連理工大學出版社，2014年。
[2]胡作玄，哈代: 不僅僅是數學家，《自然辯證法通訊》1993年04期。
[3]卡尼格爾《知無涯者——拉馬努金傳》，胡樂士 、齊民友譯，上海科技教育出版社，2008年.
[4]林開亮、鄭豪，從費爾馬多邊形數猜想到華羅庚的漸近華林數猜想，《數學文化》第7卷（2016年）第2期，61-83.
[5]Albers, D.J.; Alexanderson, G.L.; Dunham, W., eds. The G.H. Hardy reader}. Cambridge: Cambridge University Press. 2015.
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