![稳拿2019年中考数学热门解答题,与二次函数有关的应用问题](http://p2.ttnews.xyz/loading.gif)
实际应用问题作为数学这门学科必学内容之一,不仅蕴含着丰富的数学知识和方法技巧,更是每年中高考数学必考内容之一。
我们认真研究历年中考数学试卷可以发现,与实际应用问题有关的题型,具有命题新颖,贴近生活,知识综合性强等特点。中考作为一项选拔性考试,不仅仅是考查学生考几分,更加考查考生运用知识去分析问题和解决问题的能力,同时又为我们的数学教育指引教学方向。
在《教学大纲》和《数学课程标准》当中明确提出:要学生能够解决带有实际意义的和相关学科中的数学问题,能够使用数学语言表达问题、展开交流,形成用数学的意识。
因此,认真研究实际应用问题,将中考试题进行透彻的剖析与研究,无论是为了中高考,还是实际的数学教学活动,都具有重要意义。
典型例题分析1:
某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元/件,试营销阶段发现:当销售单价25元/件时,每天的销售量是250件,销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件.
(1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大;
(3)商场的营销部结合上述情况,提出了A、B两种营销方案:
方案A:该文具的销售单价高于进价且不超过30元;
方案B:每件文具的利润不低于为25元且不高于29元.
请比较哪种方案的最大利润更高,并说明理由.
解:(1)由题意得,销售量=250﹣10(x﹣25)=﹣10x+500,
则w=(x﹣20)(﹣10x+500)
=﹣10x2+700x﹣10000;
(2)w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10(x﹣35)2+2250.
∵﹣10<0,
∴函数图象开口向下,w有最大值,
当x=35时,w最大=2250,
故当单价为35元时,该文具每天的利润最大;
(3)A方案利润高.理由如下:
A方案中:20<x≤30,
故当x=30时,w有最大值,
此时wA=2000;
B方案中:
故x的取值范围为:45≤x≤49,
∵函数w=﹣10(x﹣35)2+2250,对称轴为直线x=35,
∴当x=35时,w有最大值,
此时wB=1250,
∵wA>wB,
∴A方案利润更高.
考点分析:
二次函数的应用;一元二次方程的应用.
题干分析:
(1)根据利润=(销售单价﹣进价)×销售量,列出函数关系式即可;
(2)根据(1)式列出的函数关系式,运用配方法求最大值;
(3)分别求出方案A、B中x的取值范围,然后分别求出A、B方案的最大利润,然后进行比较。
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这是一道与二次函数有关的实际应用问题,贴近生活,考生能学习生活知识,同时更帮助学生理解数学知识和生活之间的关系。研究题目,吃透题型是数学学习最有效,最实际的学习探究行为。从题目中挖掘知识点和方法技巧,提炼解题方法,概括题型,这样数学学习才能越学越有效,越学越轻松。
现代数学教育要求学生能体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用意识,提高运用数学知识和方法技巧解决问题的能力。在近几年的中考数学试题中,经常出现与二次函数有关的实际应用问题,此类题型,有时候因其条件多,题目长,很多同学无从下手,难以快速找到解题思路。
典型例题分析2:
星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.
(1)若平行于墙的一边长为y米,直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围;
(2)垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃园的面积最大,并求出这个最大值;
(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时,试结合函数图象,直接写出x的取值范围.
则S=xy=x(30﹣2x)=﹣2x2+30x,
∴S=﹣2(x﹣7.5)2+112.5,
由(1)知,6≤x<15,
∴当x=7.5时,S最大值=112.5,
即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5米时,
这个苗圃园的面积最大,这个最大值为112.5.
(3)∵这个苗圃园的面积不小于88平方米,
即﹣2(x﹣7.5)2+112.5≥88,
∴4≤x≤11.
∴x的取值范围为4≤x≤11.
考点分析:
二次函数的应用。
题干分析:
(1)根据题意即可求得y与x的函数关系式为y=30﹣2x与自变量x的取值范围为6≤x<15;
(2)设矩形苗圃园的面积为S,由S=xy,即可求得S与x的函数关系式,根据二次函数的最值问题,即可求得这个苗圃园的面积最大值;
(3)根据题意得﹣2(x﹣7.5)2+112.5≥88,根据图象,即可求得x的取值范围。解题反思:
此题考查了二次函数的实际应用问题,解题的关键是根据题意构建二次函数模型,然后根据二次函数的性质求解即可。
典型例题分析3:
某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售,每年产销x件.
(1) 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元,直接写出y1、y2与x的函数关系式;
(2)分别求出产销两种产品的最大年利润;
(3)为获得最大年利润,该公司应该选择产销哪种产品?请说明理由.
已知产销两种产品的有关信息如下表:
解:(1) y1=(6-a)x-20(0<x≤200),y2=-0.05x²+10x-40(0<x≤80);
(2)甲产品:∵3≤a≤5,
∴6-a>0,
∴y1随x的增大而增大.
∴当x=200时,y1max=1180-200a(3≤a≤5)
乙产品:y2=-0.05x²+10x-40(0<x≤80)
∴当0<x≤80时,y2随x的增大而增大.
当x=80时,y2max=440(万元).
∴产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元,产销乙种产品的最大年利润为440万元;
(3)1180-200>440,
解得3≤a<3.7时,此时选择甲产品;
1180-200=440,
解得a=3.7时,
此时选择甲乙产品;
1180-200<440,
解得3.7<a≤5时,此时选择乙产品.
∴当3≤a<3.7时,生产甲产品的利润高;
当a=3.7时,生产甲乙两种产品的利润相同;
当3.7<a≤5时,上产乙产品的利润高.
考点分析:
二次函数的应用,一次函数的应用
题干分析:
(1)y1=(6-a)x-20(0<x≤200),y2=-0.05x²+10x-40(0<x≤80);
(2) 产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元,产销乙种产品的最大年利润为440万元;
(3)当3≤a<3.7时,选择甲产品;当a=3.7时,选择甲乙产品;当3.7<a≤5时,选择乙产品。
在数学学习过程,大家应学会在具体的情境中,从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题,提高应用意识,提高实践能力。经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程,体验解决问题方法的多样性,掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。
随着中考数学不断改革和深入,对学生能力的要求也在不断提高,如除了应掌握课本知识内容之外,更要有会应用课本知识解决实际问题的能力,这就要求教师除了培养学生的基本技能外,还要培养学生分析问题和解决问题的能力。
用二次函数的知识与方法解决现实生活中的应用题,是近几年中考数学试题当中命题的热点之一。应用题考查的是学生把握实际问题 抽象成数学问题,然后用数学知识和方法加以解决的一种能力。
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