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韋達定理
“在韋達之前，方程中的係數是具體的數值，他首次系統地引入一般的符號代數，這是代數學中的重大進步。”
——《數學珍寶——歷史文獻精選》

（Franciscus Vieta，1540~1603年）
大家耳熟能詳的韋達定理指出了多項式方程的根與它的係數之間的關係。這組簡單又擁有高度對稱性的等式在多項式方程求解的歷程中扮演著核心的角色。
韋達定理絕對不是韋達唯一的成就，甚至不是他最值得驕傲的成就。韋達對代數學與三角學的運用之爐火純青，使得後世的一些數學家將韋達——而不是主流觀點所認為的丟番圖或花拉子米——評價為“代數學之父”。其實這樣的觀點也並非毫無道理的，因為正是以韋達的《分析引論》一書為起點，數學家們開始系統地使用字母來表示未知數。
韋達在1540年的法國普瓦圖出生的時候，他的父親正在當地擔任檢察官一職。或許是受到了父親的影響，韋達在1558年進入普瓦捷大學學習法律。他在一年後獲得法學學位。畢業以後，韋達成為了一名律師。
韋達的本職並不是數學家，而是律師，這其實不算是一件令人感到相當意外的事。對於韋達來說，研究數學問題只是業餘活動的一種。在那個時代，似乎有不少人喜歡以研究科學作為日常的消遣。在韋達之後的同樣本職為律師的費馬，更享有“業餘數學家之王”的美譽。布拉格的工程學家派特里·貝克曼在《π的歷史》一書中感嘆道：“文藝復興是業餘數學家們的黃金時代。”其實，勤學的精神在現代也非常重要。優秀的人總是不拘泥於某個學科。他們對世界充滿好奇，博覽群書，能融文理，通古今，廣才學。只有把思想之船造得更大更堅實才不容易被時代的巨浪衝走。
由於在工作中經常與法國王室接觸，韋達與王室的關係很好。這樣良好的人際關係在後來救了韋達一命。韋達一家都是胡格諾派——基督教的一個分支教派的信徒。1562年，法國第一次宗教戰爭爆發，韋達辭去了律師的職務，成為了一位胡格諾派貴族的女兒的家庭教師。1572年，法國國王下令屠殺胡格諾派的教徒，這就是史稱“聖巴託羅繆之夜”的事件。此時，作為胡格諾派教徒之一的韋達卻得到國王的保護，並在一年後被國王任命為布列塔尼議會的議員。
從1583年開始，韋達因為宗教原因遭到了流放。《分析引論》這本著作就是韋達在被流放的四年裡寫的。在這本書裡，韋達廣泛採用字母的表示法，不僅用字母來表示未知數，連方程中的參數也以字母而不是具體的數字來表示。這樣做的好處是顯而易見的，那就是我們可以把形式相同的所有方程統一起來進行研究。另外，在這本書裡，韋達還提出了代數方程的根與係數之間的關係，即韋達定理。這個看起來很簡單的等式組其實有非常重要的意義，它是後來的伽羅瓦理論的基礎之一。
1589年，亨利三世遭到刺殺，隨後納瓦拉·亨利即位成為亨利四世。與之前的其他國王不同，亨利四世支持胡格諾派。這對於韋達來說是一個好消息，但天主教會可不能眼睜睜地看著敵方教派的支持者登上王位。他們與西班牙國王密謀奪取王位。西班牙國王通過信件與法國宮廷的內應聯繫，而這些信件中的內容一律通過複雜的密碼加密。不久，這當中的一封信被截獲了。不出所料，亨利四世無法理解信件的內容，但他意識到這些經過加密的內容很有可能隱藏著什麼陰謀。
這時亨利四世請來了韋達。韋達很快就破譯了這封信，並得到其加密算法。這就意味著亨利四世可以讀懂西班牙國王與內應之間的所有信件。在陰謀被識破以後，西班牙國王指責韋達“使用了魔法”。
韋達因為這次的事件而獲得了亨利四世的賞識。亨利四世為韋達的數學研究給予了大量的支持，還給韋達安排了更多的破譯密文的工作。
1593年，法蘭德斯數學家阿德里安·範·羅門寫了一本名為《數學思潮》的書這本書裡有一部分是當時的一些優秀的數學家的介紹。一件比較尷尬的事是，居然沒有任何一位法國數學家出現在這本書當中。一本書當然不可能羅列出當時所有的數學家，有遺漏是再正常不過的事了，但一位荷蘭大使在1594年出使法國的時候卻拿這本書說事，稱法國的數學很落後。他還從書裡面選了一個難題出來挑戰法國的數學家，聲稱在法國沒有一位數學家可以解決這個問題。這位荷蘭大使選出來的問題要求求出這個方程的一個根，其中c是一個看起來有點複雜的常數。
亨利四世對這個荷蘭大使的輕蔑的態度感到不悅，於是找來了韋達迎戰。韋達當場就得到了一個解。第二天，他又再給出了這個方程的另外22個解。韋達用實力將荷蘭大使反駁得啞口無言。
韋達在後來的論文中提到了他對這個問題的解法。他首先假設c是2sin45θ，x是2sinθ，這樣就把解代數方程的問題轉化成求解角度θ的問題。然後，他又利用三角函數的恆等變換將這個方程分解成多個三次方程和五次方程的問題。雖然方程的數量增多了，但方程的次數降低了。將一個很難求解大大問題分解為一些容易求解的小問題，這是數學中很常用的手段。韋達就是這樣用三角學的方法求出了這個45次方程的23個根。這真是非常巧妙的手法！但是，瞭解代數學基本定理的讀者應該知道，一個45次方程應該有45個根。那為什麼韋達只找出了其中的23個根呢？這是因為在韋達所處的時代，三角函數的定義依然是某些長度的比，不可能是負數，因此剩下的22個負根被韋達排除掉了。
上述的故事表明，除了代數學，韋達對三角學同樣有非常深刻獨到的研究。他將自己對三角函數以及各種三角形性質的研究寫在了《應用於三角形的數學法則》這本書當中。他在這個著作裡給出了大量重要的三角恆等式，並對過去的三角函數的內容進行了系統的整理。
1603年，韋達在巴黎去世。
韋達的工作實際上開啟了代數學的一個新篇章，使得代數學真正從一門研究實數運算的科學變為符號分析的科學。後來，笛卡爾改良了韋達創造的符號系統，得到了我們現今所常用的數學符號。
結語
眾所周知，法國數學家勒內·笛卡爾在17世紀提出瞭解析幾何，其中最核心的思想便是用代數方法研究幾何問題。其實在笛卡爾之前，韋達已經提出過用代數方法解決幾何問題的想法了。
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