今天是《基本圖形分析法》中軸對稱型全等三角形的最後一道壓軸經典例題，本題的難度也較高。除了運用全等中常用的基本圖形的性質，本題還運用了諸多為了輔助證明所要用到的其他基本圖形性質。話不多說，一起來動腦思考吧，如果您有更好的解題方法，歡迎文章底部進行評論和分享。
例30 如圖5-94，已知：以△ABC的三條邊為底邊，在形外作頂角為120°的等腰三角形，即△ABD、△BCE和△CAF。求證：△DEF是等邊三角形。
圖5-94
分析：本題要證明△DEF是等邊三角形，就是要證明這個三角形的三個內角都等於60°，考慮到這個圖形性質的輪換對稱性，實質上就是要證明它的一個內角是60°，不妨就考慮證明∠DFE=60°。但已知∠AFC=120°，所以在這個角的內部除去∠DFE後留下來的兩個角之和也應等於60°，也就是∠AFD+∠CFE也應等於60°，從而問題也就成為要證∠DFE=∠AFD+∠CFE。這是一個角等於兩個角的和的問題，所以可根據角的和的定義將∠DFE分成兩部分，也就是先作∠EFO=∠EFC（如圖5-95），然後再證明留下來的∠DFO與∠DFA相等。
圖5-95
在作出∠EFO=∠EFC後，就出現了這兩個相等的角是關於EF成軸對稱的，所以就可添加軸對稱型全等三角形進行證明。由於圖形中已經出現了對稱軸EF，所以添加的方法是將△EFC沿EF翻折過去，實質上也就是作FO=FC，然後聯結EO（如圖5-96），則有△EFO≌△EFC，EO=EC。
圖5-96
由條件FA=FC，而我們已作FO=FC，這是由F點發出的三條相等線段，所以它們可以兩兩組成等腰三角形，於是聯結OA、OC後（如圖5-97），可得∠FAO=∠FOA，∠FOC=∠FOC，由於這兩個等腰三角形的頂角之和等於120°，所以它們的四個底角之和應等於240°，所以就有∠AOC=∠FOA+∠FOC=1/2·240°=120°
圖5-97
根據同樣的道理，由已證明的性質EO=EC和條件EB=EC，可得連接BO（如圖5-98）後，∠BOC=120°。從而就可得∠AOB=360°-120°-120°=120°。而已知∠ADB=120°，所以根據上述性質的逆定理就可得聯結DO後（如圖5-98），有DO=DB=DA。
圖5-98
對於這一性質的證明也可作如下的分析：由於△DBA是頂角為120°的等腰三角形，所以它的底角為30°，從而就可添加特殊角三角形的基本圖形的性質進行證明，添加的方法是作特殊角一邊的垂線到和另一邊相交。如我們取∠DBA為30°角，則就可過邊BA上的點A作BA的垂線，並交BD的延長線於G（如圖5-99），即可得∠G=60°，BG=2AG，而由∠BDA=120°和B、D、G成一直線，又可得∠ADG=60°，所以就得BG=2DG，D是BG的中點。而由∠G=60°和已證的∠AOB=120°，可得∠G+∠AOB=180°，G、B、O、A四點共圓，而這個圓就是以BG為直徑的圓，所以DO=DB=DA。
圖5-99
而在證明了DO=DA後，就可由FO=FA和FD=FD，證明△DFA和△DFO也是一對軸對稱型的全等三角形，從而有∠DFA=∠DFO，這樣也就可進一步證明∠DFE=60°
根據同樣的道理，還可以證明∠DEF或∠EDF也等於60°，從而就可以完成分析。
本題在分析得到了FA、FO、FC是由F點發出的三條相等線段後，也就得到了F是△ACO的外心，所以可直接應用三角形的外心的性質，得∠AFC是△ACO的外接圓的圓心角，而∠AOC就是一個圓周角，從而由∠AFC=120°，就可推得∠AOC也是120°，根據同樣的道理，通過△EFO和△EFC全等，並得到EO=EC=EB後，又可證得∠BOC=120°，從而也可得∠AOB=120°，而已知∠ADB=120°，所以D也就是△ABO的外心，從而也可證得DO=DB=DA，進一步也可完成分析。
本題在將問題轉化為要證∠DFE=∠EFC+∠DFA，並根據角的和的定義來進行分析時，也可以考慮作∠DFO=∠EFC，那麼就應有∠EFC+∠EFO也等於60°，而已知∠AFC=120°，所以FO實際上就是∠AFC的角平分線，而在具體作圖時可以考慮從已知條件出發，所以可作∠AFC的角平分線FO（如圖5-100），則∠AFO=∠CFO=60°。由於現在出現了60°的特殊角，所以也可以構成等邊三角形，所以取FO=FC，並連接CO（如圖5-101），則△FOC就是一個等邊三角形。這樣現在的問題也就是要證∠DFO=∠EFC。
圖5-100
圖5-101
現在圖形中出現了兩個等邊三角形，△FCO已經證明是等邊三角形，△FDE是要證明的等邊三角形，而這兩個等邊三角形現在有一個公共的頂點F，所以必然構成一對旋轉型的全等三角形，找全等三角形的方法是將由這個公共頂點F發出的兩組相等線段，即FD、FE和FO、FC兩兩組成全等三角形，於是聯結DO，就得到△FDO和△FEC應是一對旋轉型全等三角形（如圖5-102）。在這兩個三角形中，已經出現的條件是FO=FC，所以還需要證明兩個性質。由於FD=FE和∠DFO=∠EFC都是要證明的結論，不能用，且由於∠DFC=∠EFC是結論，所以也不能再證另外兩個角都對應相等，所以只能證明DO=EC和∠DOF=∠ECF。
圖5-102
由於FO=FC=FA，所以FO和FA也是兩條具有公共端點的相等線段，且它們的夾角∠AFO也等於60°，所以它們也可以組成等邊三角形，於是連接AO（如圖5-103），可得△FAO是等邊三角形，∠FOA=60°，而∠FCO也等於60°，所以證明∠DOF=∠BCF就可轉化為證∠DOA=∠ECO。
圖5-103
由於現在圖形中出現了△FAO和△FCO都是等邊三角形，所以∠AOC=∠AOF+∠COF=120°，且OC=OA，所以△OCA是一個頂角為120°的等腰三角形，而已知△DBA也是一個頂角為120°的等腰三角形，且它們有一個公共頂點B，所以它們是一對旋轉型的相似三角形，即由∠ADB=∠AOC=120°,BD/CO=DA/OA或∠DAB=∠OAC=30°，可證明△DBA∽△OAC（如圖5-104）。由於在旋轉型相似三角形的基本圖形中，必定同時出現另一對旋轉型相似三角形。也就是由上述相似三角形，可得AD/AO=AB/AC。於是就有AD/AB=AO/AC，且DAO=∠BAC，所以△DAO∽△BAC（如圖5-105），∠DOA=∠BCA。而∠BCA=∠OCA+∠OCB=30°+∠OCB=∠ECO。所以∠DOA=∠ECO可以證明，根據同樣的道理，由△CAO和△CBE也是一對旋轉型的相似三角形，又可證明∠DAO=∠EOC，而已經證明OA=CO，所以又可得△DOA≌△ECO（如圖5-106），這樣也就證明了DO=EC。
圖5-104
圖5-105
圖5-106
在證明了△FDO和△FEC全等以後，就可得FD=FE，∠DFO=∠EFC，而∠EFC+∠EFO=60°，所以∠DFO+∠EFO也等於60°，亦即∠DFE=60°，所以△DEF是等邊三角形就可以證明。
本題在證明了△DAO∽△BAC後，也可真接推得AD：DO：OA=AB：BC：CA。而由條件又可得△ABD∽△BCE∽△CAF，從而又有AD：EC：CF=AB：BC：CA，而CF=OA，所以也可證明DO=EC，也就可完成分析。
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