在直线与圆锥曲线问题中，我们经常会遇到一类中点弦问题，而解决这类问题，我们经常采用“点差法”，“点差法”巧妙地将斜率公式、中点坐标公式结合起来，“设而不求”可以大大减少计算量，提高解题速度。确实具有很好的推广价值和实用性。譬如我们来看一下一道例题。
显然，点差法在解决中点弦问题时显示了它独特的优越性，我们接下来在看一道问题：
但实际上这道题的答案是D，也就是说这样的直线不存在，为什么会出现这样的情况，我们来机一步分析：
我们不妨将直线代入双曲线方程，验证，就会发现方程没有实数根，也就是说，直线和曲线根本就不相交，又怎么能出现弦呢。可见，这里对“直线是否与双曲线有交点”的检验是很有必要的。
双曲线和椭圆的最大的区别是图形的封闭性，椭圆是完全封闭的，双曲线是完全开放的。椭圆的内部的任何一个点为中点，总是可以找到对应中点弦，因为它们总是和椭圆有两个交点（另外抛物线是半封闭的图形，它内部的点也能做到这一点）。.但是双曲线则很不容易做到。所以，双曲线的中点弦经常出现增解。但是从上述解题过程中似乎看不出破绽，为什么还会出现增解，增解从哪里产生的呢，怎样迅速检验呢？下面我们依次展开说明。
双曲线的中点弦方程的增解是不同解变形产生的，也就是说是借助于了必要不充分条件产生了增根。
我们再看上面的解题过程，
那么如何迅速检验是否产生增解呢？我们知道“点差法”前提是直线与圆锥曲线必须要有两
个不同的交点，验证增解的常见的方法是检验中点弦所在的直线与圆锥曲线是否有两个不同的交点，即Δ>0。但是往往因为这样做太麻烦，而省略了非常必要的一步检验。
下面来研究常见的几种圆锥曲线中中点弦问题的检验，从中探索检验的规律。
（1）椭圆( 以及抛物线) 内的点为中点，中点弦方程不用检验。
我们来一道例题：
（2）双曲线中点在渐近线和曲线上或它们之间的空隙区域（如图E、F区域）符合条件的方程都是增解；其它区域内的点（如图A、B、C、D区域）中点的弦的方程都符合题意。如图：
我们再来看一道例题：
当然，检验时我们可以通过联立方程组，判断根的判别式大于0，但方法过于繁琐，我们可以判断点的位置，譬如上题，容易判断点P在区域B内，所以求出的方程不是增根，一定存在。当然我们不一定要这样写，你就写上“经检验知，符合题意或者不符合题意”进行了，阅卷教师不一定知道是怎么来的，但是他知道你检验了，而且结果正确。
那么为什么双曲线中点在渐近线和曲线上或它们之间的空隙区域（如图E、F区域）符合条件的方程都是增解；其它区域内的点（如图A、B、C、D区域）中点的弦的方程都符合题意。接下来我们进行分析。
从上图可知，双曲线与其渐近线分别将平面分为两部分，其中含有焦点的区域分别叫内
域（区域A、B）与内角域（区域A、B、E、F），不含焦点的区域分别叫外域（区域C、D、E、F）与外角域（区域C、D），显而易见，内域是内角域的真子集，外角域是外域的真子集。
终于化简成功了，以上化简过程耗费了我四张演算纸，嗨！还是有些粗心啊。
也就是说，当弦中点（不在坐标轴上）落在渐近线和双曲线之间的位置（区域E、F不含边界）时，以该点为中点的弦不存在，此时用点差法求出的直线不符题意，需要舍去，当然，你只需写上经验证，不符题意即可；当弦中点（不在坐标轴上）落在渐近线和双曲线之间的位置之外（区域A、B、C、D不含边界）时，以该点为中点的弦存在，此时用点差法求出的直线符合题意，直接保留，当然，你只需写上经验证，符合题意即可。
那么如果点在落在渐近线和双曲线之间的位置（区域E、F不含边界）时，以该点为中点的弦不存在，此时用点差法求出的直线不符题意，这样的直线是什么？
我们再观察区域图：
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