黎曼論文的靈魂：零點分布與素數分布

在上節中我們看到， 素數的分佈與 Riemann ζ 函數之間存在著深刻關聯。 這一關聯的核心就是 J(x) 的積分表達式。 由於 Riemann ζ 函數具有極為複雜的性質， 這一積分同樣也是極為複雜的。 為了對這一積分做進一步的研究， Riemann 引進了一個輔助函數 ξ(s)：

ξ(s) = Γ(s/2+1) (s-1) π^-s/2 ζ(s)

引進這樣一個輔助函數有什麼好處呢？ 首先， 由上式定義的輔助函數可以被證明為是整函數 (entire function)， 即在複平面上所有 s≠∞ 的點上都解析的函數。 這樣的函數在性質上要比 Riemann ζ 函數簡單得多， 處理起來也容易得多。 事實上， 在所有非平庸的複變函數中， 整函數是解析區域最為寬廣的 (解析區域比它更大， 即包括 s=∞， 的函數只有一種， 那就是常數函數)。 這是引進 ξ(s) 的好處之一。

其次，利用這一輔助函數， 我們在第二節中提到過的 Riemann ζ 函數所滿足的代數關係式 ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)^s-1sin(πs/2)ζ(1-s) 可以表述為一個對於 s 與 1-s 對稱的簡單形式：

ξ(s) = ξ(1-s)

這是引進 ξ(s) 的好處之二。

此外， 從 ξ(s) 的定義中不難看到， ξ(s) 的零點必定是 ζ(s) 的零點。 另一方面， ζ(s) 的零點除了平凡零點 s=-2n (n 為自然數) 由於恰好是 Γ(s/2+1) 的極點， 因而不是 ξ(s) 的零點外， 其餘全都是 ξ(s) 的零點， 因此

在進一步介紹 Riemann 的論文之前， 讓我們先提一下 Riemann ζ 函數的一個簡單性質， 即 ζ(s) 在 Re(s)>1 的區域內沒有零點。 沒有零點當然就更沒有非平凡零點， 而後者跟 ξ(s) 的零點是重合的， 因此上述性質表明 ξ(s) 在 Re(s)>1 的區域內也沒有零點； 又由於 ξ(s)=ξ(1-s)， 因此 ξ(s) 在 Re(s)<0 的區域內也沒有零點。 這表明 ξ(s) 的所有零點——從而也就是 Riemann ζ 函數的所有非平凡零點——都位於 0≤Re(s)≤1 的區域內。 由此我們得到了一個有關 Riemann ζ 函數零點分佈的重要結果， 那就是：Riemann ζ 函數的所有非平凡零點都位於複平面上 0≤Re(s)≤1 的區域內。 這一結果雖然離 Riemann 猜想要求的所有非平凡零點都位於複平面上 Re(s)=1/2 的直線上還相距甚遠， 但起碼也算是萬里長征的第一步。

好了， 現在回到 Riemann 的論文中來。 引進了 ξ(s) 之後， Riemann 便用 ξ(s) 的零點對 lnξ(s) 進行了分解：

lnξ(s) = lnξ(0) + Σ_ρln(1-s/ρ)

其中 ρ 為 ξ(s) 的零點 (也就是 Riemann ζ 函數的非平凡零點——這些傢伙終於出場了！)。 分解式中的求和對所有的 ρ 進行， 並且是以先將 ρ 與 1-ρ 配對的方式進行的 (由於 ξ(s)=ξ(1-s)， 因此零點總是以 ρ 與 1-ρ 成對的方式出現的)。 這一點很重要， 因為上述級數是條件收斂的， 但是在將 ρ 與 1-ρ 配對之後則是絕對收斂的。 這一分解式也可以寫成等價的連乘積關係式：

ξ(s) = ξ(0) Π_ρ(1-s/ρ)

這樣的連乘積關係式對於有限多項式來說是顯而易見的 (只要滿足 ξ(0)≠0 這一條件即可)， 但對於無窮乘積來說卻絕非一目瞭然， 它有賴於 ξ(s) 是整函數這一事實， 其完整證明直到三十四年後的 1893 年才由 Hadamard 在對整函數的無窮乘積表達式進行系統研究時給出。 Hadamard 對這一關係式的證明是 Riemann 的論文發表之後這一領域內第一個重要進展。

很明顯， 上述級數分解式的收斂與否與 ξ(s) 的零點分佈有著密切的關係。 為此 Riemann 研究了 ξ(s) 的零點分佈， 並由此而提出了三個重要命題：

1. 在 0
2. 在 0
3. ξ(s) 的所有零點都位於 Re(s)=1/2 的直線上。

在這三個命題之中， 第一個命題是證明級數分解式的收斂性所需要用到的 (不過 Riemann 建立在這一命題基礎上的說明因過於簡略而不足以構成證明)。 對於這個命題， Riemann 的證明是指出在 0

但 Riemann 顯然大大高估了他的讀者的水平， 因為直到四十六年後的 1905 年， 他所寫下的這一結果才由德國數學家 Hans von Mangoldt (1854–1925) 所證明 (這一結果因此而被稱為了 Riemann-von Mangoldt 公式， 它除了補全 Riemann 論文中的一個小小證明外， 也確立了 Riemann ζ 函數的非平凡零點有無窮多個)。

不過 Riemann 留給讀者們的這點智力挫折與他那第二個命題相比卻又是小巫見大巫了。 將 Riemann 的第二個命題與前一個命題相比較可以看出， 這第二個命題實際上是表明 ξ(s) 的幾乎所有零點——從而也就是 Riemann ζ 函數的幾乎所有非平凡零點——都位於 Re(s)=1/2 的直線上。 這是一個令人吃驚的命題， 因為它比迄今為止——也就是 Riemann 的論文發表一個半世紀以來——人們在研究 Riemann 猜想上取得的所有結果都要強得多！ 而且 Riemann 在敘述這一命題時所用的語氣是完全確定的， 這似乎表明， 當他寫下這一命題時， 他認為自己對此已經有了證明。 可惜的是， 他完全沒有提及證明的細節， 因此他究竟是怎麼證明這一命題的？ 他的證明究竟是正確的還是錯誤的？ 我們就全都無從知曉了。

除了 1859 年的論文外， Riemann 還曾在一封信件中提到過這一命題， 他說這一命題可以從對 ξ 函數的一種新的表達式中得到， 但他還沒有將之簡化到可以發表的程度。 這就是後人從 Riemann 留下的片言隻語中得到的有關這一命題的全部信息。

Riemann 的這三個命題就像是三座漸次升高的山峰， 一座比一座巍峨， 攀登起來一座比一座困難。 他的第一個命題讓數學界等待了四十六年； 他的第二個命題已經讓數學界等待了超過一個半世紀； 而他的第三個命題讀者想必都看出來了， 正是大名鼎鼎的 Riemann 猜想！ 它要讓大家等待多久呢？ 沒有人知道。 但據說著名的德國數學家 David Hilbert (1862-1943) 有一次曾被人問到如果他能在 500 年後重返人間， 他最想問的問題是什麼？ Hilbert 回答說他最想問的就是： 是否已經有人解決了 Riemann 猜想？

（David Hilbert。圖片來自網絡）

正所謂山雨欲來風滿樓， 一直遊刃有餘、 慣常在談笑間讓定理灰飛煙滅的 Riemann 到了表述這第三個命題——也就是 Riemann 猜想——的時候， 也終於一改舉重若輕的風格， 用起了像 “非常可能” 這樣的不確定語氣。 Riemann 並且寫道： “我們當然希望對此能有一個嚴格的證明， 但是在經過了一些快速而徒勞的嘗試之後， 我已經把對這種證明的尋找放在了一邊， 因為它對於我所研究的直接目標不是必須的”。 Riemann 把證明放在了一邊， 整個數學界的心絃卻被提了起來， 直到今天還提得緊緊的。

Riemann 猜想的成立與否對於 Riemann 的 “直接目標”——即證明 lnξ(s) 的級數分解式的收斂性——的確不是必須的 (因為那隻要上述第一個命題就足夠了)， 但對於今天的數學界來說卻是至關重要的。 粗略的統計表明， 在當今的數學文獻中已經有超過一千條數學命題或 “定理” 以 Riemann 猜想 (或其推廣形式) 的成立作為前提。

Riemann 猜想的命運與提出這些命題或 “定理” 的所有數學家們的 “直接目標” 息息相關， 並通過那些命題或 “定理” 而與數學的許多分支有著千絲萬縷的聯繫。 另一方面， Riemann 對於 Riemann 猜想的表述方式也從一個側面表明 Riemann 對於自己寫下的命題是屬於猜測性的還是肯定性的是加以區分的。 因此他對於那些沒有註明是猜測性的命題——包括迄今無人能夠證明的上述第二個命題——應該是有所證明的 (儘管由於他省略了證明， 我們無從知道那些證明是否正確)。

現在讓我們回到對 J(x) 的計算上來。 利用 ξ(s) 的定義及其分解式， 可以將 lnζ(s) 表示為：

lnζ(s) = lnξ(0) + Σ_ρln(1-s/ρ) - lnΓ(s/2+1) + (s/2)lnπ - ln(s-1)

對 lnζ(s) 作這樣的分解， 目的是為了計算 J(x)。 但是將這一分解式直接代入 J(x) 的積分表達式所得到的各個單項積分卻並不都收斂， 因此 Riemann 在代入之前先對 J(x) 作了一次分部積分， 由此得到 (感興趣的讀者可自行證明)：

將 lnζ(s) 的分解式代入上式， 各單項便可分別積出， 其結果如下表所列：

在上述結果中， 對級數 Σ_ρ ln(1-s/ρ) 的積分最為複雜， 其結果 -Σ_Im(ρ)>0 [Li(x^ρ) + Li(x^1-ρ)] 是對級數逐項積分的結果。 這一結果是條件收斂的， 不僅要如 lnξ(s) 的級數表達式中一樣將 ρ 與 1-ρ 進行配對， 而且還必須依照 Im(ρ) 從小到大的順序求和。 Riemann 在給出這一結果時承認逐項積分的有效性有賴於對 ξ 函數的 “更嚴格” 的討論， 但他表示這是容易證明的。 這一 “容易證明” 的結果在三十六年後的 1895 年被 von Mangoldt 所證明。

另外值得指出的一點是， 在 Riemann 對這一級數的各個單項進行積分時隱含了一個要求， 那就是對所有的零點 ρ， 0[注六]。 不過這一漏洞只是論證方法上的漏洞， 是可以彌補的， 論證的結果本身並不依賴於 0

由上面這些結果 Riemann 得到了 J(x) 的顯形式：

這一結果， 連同上節給出的 π(x) 與 J(x) 的關係式：

π(x) = Σ_n [μ(n)/n] J(x^1/n)

便是 Riemann 所得到的素數分佈的完整表達式， 也是他 1859 年論文的主要結果。 Riemann 的這一結果給出的是素數分佈的精確表達式， 它的第一項 (由 J(x) 及 π(x) 的第一項共同給出) 正是當時尚未得到證明的素數定理所預言的結果 Li(x)。

細心的讀者可能會問： Riemann 既然已經給出了素數分佈的精確表達式， 卻沒能直接證明遠比該結果粗糙的素數定理， 這是為什麼呢？ 這其中的奧秘就在於 Riemann ζ 函數的非平凡零點， 在於 J(x) 的表達式中那些與零點有關的項， 即 -Σ_Im(ρ)>0 [Li(x^ρ) + Li(x^1-ρ)]。

在 J(x) 的表達式中， 所有其它的項都十分簡單， 也比較光滑， 因此素數分佈的細緻規律——那些細緻的疏密漲落——主要就蘊涵在了這個與 Riemann ζ 函數的非平凡零點有關的級數之中。 如上所述， 這個級數是條件收斂的， 也就是說它的收斂有賴於參與求和的各項——即來自不同零點的貢獻——之間的相互抵消。 這些來自不同零點的貢獻就像一首盤旋起伏的舞曲， 引導著素數的細緻分佈。 而這首舞曲的奔放程度——也就是這些貢獻相互抵消的方式和程度——則決定了素數的實際分佈與素數定理給出的漸近分佈之間的接近程度。 所有這一切都定量地取決於 Riemann ζ 函數非平凡零點的分佈。

Riemann 給出的素數分佈的精確表達式之所以沒能立即使得對素數定理的直接證明成為可能， 原因正是因為當時人們對 Riemann ζ 函數非平凡零點的分佈還知道得太少 (事實上當時人們所知道的也就是我們在上面已經提到過的 0≤Re(ρ)≤1)， 無法有效地估計那些來自零點的貢獻， 從而也就無法有效地估計素數定理與素數實際分佈——即 Riemann 給出的精確表達式——之間的偏差。

那麼 Riemann ζ 函數非平凡零點的分佈對素數定理與素數實際分佈之間的偏差究竟有什麼樣的影響呢？ 在這個問題上數學家們已經取得了一系列結果。 素數定理的證明本身就是其中一個， 我們將在後文中提及。 在素數定理被證明之後， 1901 年，瑞典數學家 von Koch (1870-1924) 進一步證明了 (請注意， 這正是我們前面提到過的以 Riemann 猜想的成立為前提的數學命題的一個例子)， 假如 Riemann 猜想成立， 那麼素數定理與素數實際分佈之間的絕對偏差為 O(x

另一方面， Li(x^ρ) 的模隨 x 的增加以 x^Re(ρ)/lnx 的方式增加， 因此任何一對非平凡零點 ρ 與 1-ρ 所給出的漸近貢獻 Li(x^ρ) + Li(x^1-ρ) 起碼是 Li(x^1/2) ~ x^1/2/lnx。 這一結果暗示素數定理與素數實際分佈之間的偏差不可能小於 Li(x

因此， 對 Riemann 猜想的研究使數學家們看到了貌似隨機的素數分佈背後奇異的規律和秩序。 這種規律和秩序就體現在 Riemann ζ 函數非平凡零點的分佈之中， 它讓數學家們目馳神移。

（摘自《黎曼猜想漫談：一場攀登數學高峰的天才盛宴》，作者：盧昌海）

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