蒙哥马利关于黎曼ζ 函数非平凡零点分布的论文于 1973 年发表在了美国数学学会的系列出版物《纯数学专题讨论文集》(Proc. Symp. Pure Math.) 上。
但最初几年里它并没有吸引多少眼球， 因为这种存在于零点分布与随机矩阵理论之间的关联无论有多么奇妙， 在当时都还只是一个纯粹的猜测， 既没有严格的数学证明， 也没有直接的数值证据。 我们在第 十三、 十四 两节中曾经介绍过对黎曼ζ 函数非平凡零点进行大规模计算的部分历史。
在蒙哥马利的论文发表之初， 人们对零点的计算还只进行到几百万个， 而且——如我们在 第十五节 中所说——那些计算大都只是验证了 “前 N 个零点” 位于临界线上， 却不曾涉及零点的具体数值。 既然没有具体数值， 自然也就无法用来检验蒙哥马利的对关联假设了。 更何况为了检验后者， 我们需要研究虚部很大的零点， 这显然也是当时的计算所远远不能触及的。 因此当时就连蒙哥马利自己也觉得对他的猜测进行数值验证将是极为遥远的将来的事情。
但是蒙哥马利和我们之前提到过的那位输掉了葡萄酒的乍基亚一样大大低估了计算机领域的发展速度。
在蒙哥马利的论文发表五年之后的某一天， 他又来到了普林斯顿。 不过这次不是为了觐见塞尔伯格， 而是来做一个有关黎曼ζ 函数零点分布的演讲。 在那次演讲的听众中有一位来自 32 英里外的贝尔实验室 (Bell Labs) 的年轻人， 他被蒙哥马利所讲述的零点分布与随机矩阵理论间的关联深深地吸引住了。 这位年轻人所在的实验室恰好拥有当时著名的 Cray 巨型计算机。 这位年轻人就是我们在第十六节中提到的奥德利兹克。
普林斯顿真是蒙哥马利的福地， 五年前与戴森在这里的相遇， 使他了解到了零点分布与随机矩阵理论之间的神秘关联， 从而为他的研究注入了一种奇异的魅力。 五年后又是在这里， 这种奇异的魅力打动了奥德利兹克， 从而有了我们在第十六节中介绍过的奥德利兹克对黎曼ζ 函数非平凡零点的大规模计算分析。
这些计算为蒙哥马利所猜测的零点分布与随机矩阵理论间的关联提供了大量的数值证据。 这种关联， 即经过适当的归一化之后的黎曼ζ 函数非平凡零点的间距分布与高斯幺正系综的本征值间距分布相同， 也因此渐渐地被人们称为了蒙哥马利-奥德利兹克定律 (Montgomery-Odlyzko Law)。
蒙哥马利-奥德利兹克定律虽然是用高斯幺正系综来表述的， 但我们在第十八节中曾经提到过， 随机矩阵理论的本征值分布在矩阵阶数 N→∞ 时具有普适性。 因此 蒙哥马利-奥德利兹克定律所给出的关联并不限于高斯幺正系综。 不仅如此， 这种本征值分布的普适性还有一层含义， 那就是它不仅在各种系综下都相同， 而且对系综中任何一个典型的系统——即任何一个典型的随机厄密矩阵——都相同。 换句话说， 我们不仅不需要指定系综的分布函数， 甚至连系综本身都不需要， 只要随便取出一个随机厄密矩阵就可以了。 因此 蒙哥马利-奥德利兹克定律实际上意味着黎曼ζ 函数非平凡零点的分布可以用任何一个典型随机厄密矩阵的本征值分布来描述。
蒙哥马利当初的研究只涉及零点分布的对关联函数。 在他之后， 人们对零点分布的高阶关联函数也作了研究。
1996 年， Z. 鲁德尼克与 P.萨纳克及 E. B.伯格莫伊尼与 J. P. 基廷分别 “证明” 了零点分布的高阶关联函数也与相应的随机厄密矩阵的本征值关联函数相同。 美中不足的是， 我们不得不对这种 “证明” 加上引号， 因为它们和蒙哥马利的研究一样， 并不是真正严格的证明， 它们或是引进了额外的限制条件 (如 Z. 鲁德尼克与 P.萨纳克的研究)， 或是运用了本身尚未得到证明的黎曼猜想及 强孪生素数猜想 (如 E. B.伯格莫伊尼与 J. P.基廷的研究)。
但即便如此， 所有这些理论及计算的结果还是非常清楚地显示出黎曼ζ 函数非平凡零点的分布与随机厄密矩阵的本征值分布——从而与由随机厄密矩阵理论所描述的一系列复杂物理体系的性质——之间的确存在着令人瞩目的关联。 蒙哥马利-奥德利兹克定律在 “经验” 意义上的成立几乎已是一个毋庸置疑的事实。
（摘自《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》，作者：卢昌海）
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