义枫刀

质数是只有1和它本身两个约数的数字。比如5就是质数，因为5只有1和5两个约数，而4就不是质数，因为4的约数除了1和4，还有2，这样的数字称为合数。

数学中有一个专门的分支：数论，专门研究最简单的数字——自然数的性质。在数论中，质数是最引人入胜的风景， 有许许多多关于质数的猜想，例如以前介绍过的哥德巴赫猜想、费马数猜想等等，有些经过了数百年的时间才被人证明，有些直到现在还没有被证明。正因为质数如此迷人和复杂，目前人们还没有完全掌握质数的规律，所以人们才把质数作为密码学的基础。

那么，质数到底有多少个呢？它的分布有什么规律吗？人们对质数的研究已经有了哪些成果呢？

质数有多少个？

我们很容易通过计算写出前几个质数，它们是：

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37…

那么，如果我们就这样写下去，能够把质数都写穷尽吗？如果质数可以穷尽，那么关于质数的许多猜想就变得容易了许多。遗憾的是，在古希腊时代，人们就已经认识到质数有无穷多个了，这要归功于数学家、几何学的创立者欧几里得。

欧几里得通过反证法证明了质数有无穷多个。所谓反证法，就是假设一个命题不成立，再通过演绎的方法推理出两个相互矛盾的结论，从而证明该命题。欧几里得的思路是：

假设质数的个数是有限个，分别是2、3、5、7、….、p,其中p是最大的质数，那么可以令数字q等于所有质数的乘积与1的和，即

这个数字q是质数还是合数呢？

（1）如果这个数字q是质数，那么q是一个比p大的质数，与p是最大的质数矛盾，所以q不是质数。

（2）如果这个数字q是合数，那么它必然有除了1和它本身以外其他的约数，或者说它可以进行质因数分解，也就是把它写作一堆质数的乘积：

这里的m都是质数，叫做q的质因子。由于所有的质数都被我们找到了，因此每一个m只能在2、3、5、7、…、p中取值。

可是，根据q的计算方法可知：

也就是说q-1是2、3、5、7、…、p这些质数的整数倍，q除以2、3、5、7、…、p中的任何一个数字都会有余数1，因此q不可能有任何一个质数因子，这与q是合数矛盾，q不可能是合数。

所以，q既不是质数也不是合数，二者发生了矛盾。矛盾的起源在于我们假设质数是有限个，所以质数不可能是有限个，质数有无穷多个，真是一个漂亮的证法！

如何寻找质数？

虽然质数有无穷多个，但是人们依然希望知道如何快速判断一个数是质数还是合数。古希腊的埃拉托色尼（我们之前谈到过，就是那个测量出地球半径的人）给出了一种制作质数表的方法：筛选法。

他的思路是：要找到一个小于某自然数n的全部质数，只需要按照下面的方式：

1. 找到这个数字的平方根m=√m

2. 找到不大于m的所有质数。

3. 在一张自然数表上划掉所有质数的整数倍（质数本身不划掉）

4. 把1划掉。

5. 没有划掉的数字就是质数。

例如，我们要找到100以内的所有质数，只需要按照下面的步骤进行：

1. 计算100的平方根，是10。

2. 10以内的质数有2、3、5、7

3. 划掉2、3、5、7的整数倍。首先划掉2的倍数，如4、6、8…、98、100，然后划掉3的倍数，如6、9、12、15、…、99， 重复的就不需要再划掉了。然后划掉5的倍数，7的倍数。

4. 最后划掉1。

5. 表中余下的数字就是质数。

这个方法的依据是：如果一个数字是合数，那么它最小的质因子不会超过它的平方根。对于这个问题的证明我们依然可以使用反证法：如果所有质因子都大于它的平方根，两个质因子相乘就会比它大了。

质数分布有规律吗？

人们虽然可以通过这种方法获得质数表，但是数字一旦大起来，判断是不是质数就非常困难，人们只能使用已知的质数因子一个个去除，去尝试。例如费马数

它有一个1187位的因子，还没有判断出来是不是质数。

长久以来，人们一直希望发现质数的分布规律，最好能通过一个公式算出质数，或者能通过前面的质数计算出后一个质数。

第一个获得突破的人是瑞士数学家欧拉。

欧拉在研究级数求和的问题中，得到了一个著名的公式：欧拉乘积定理。

这个公式并不难理解：左边的Σ表示求和，即把全体自然数n的s次幂的倒数求和。右边的Π表示乘积，而数字p是质数。如果我们把它展开成更加好认的形式，就是：

这是多么美妙的式子！虽然自然数和质数都是无穷多个，但是全体的自然数和全体质数之间却有某种微妙的联系。

不仅如此， 欧拉通过对质数的研究，发现了一个近似的规律：小于一个数x的质数个数π(x)大约可以用一个函数计算出来：

lnx是一个对数函数。

欧拉研究出这个内容之后，就去做其他工作了。毕竟欧拉涉猎的内容太广泛。于是，这个内容的接力棒就传到了另外一位数学巨匠高斯手中。

素数定理

在欧拉去世的时候，德国的数学巨匠高斯六岁。

他最出名的应该是在小学的时候计算1+2+3+4+…+100的故事，但是他的贡献远远不止与此。高斯在数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学等方面均有巨大贡献，以高斯的名字命名的定律有110个，他和阿基米德、牛顿、欧拉并称为四大数学家。

高斯小的时候，经常自己一个人研究数字。他经常随意的写出连续1000个数字，并找出中间的质数个数。他发现，开始的数字越大，这连续1000个数字中的质数越少。他用找出的质数个数除以1000，就得到了质数的“密度”。高斯发现这个密度大约可以用算式

计算。这个结果与欧拉得到的结果接近，但又不完全相同。

高斯得到这个结果后，并没有急于发表。因为高斯并不喜欢发表一些不成熟的结论，他向来要求自己的论文严格而优美。这样，这个机会就留给了法国数学家勒让德。

勒让德在1798年提出：小于x的质数个数可以用下面的计算得到：

其中的第一项积分式子称为Li(x)，而c是一个误差项。质数也叫做素数，而且勒让德提出这个问题的时候，并没有严格证明，所以称为素数猜想。

勒让德提出素数猜想的荣誉保留了50年，然而在1849年，高斯在给他人的信中谈到：1792年他就已经提出了这个猜想。人们相信高斯，因为高斯经常这么干。

我们把素数猜想计算的结果Li(x)，质数实际个数π(x)，以及欧拉计算的x/lnx画在一张图中，就会发现Li(x)的结果更加接近实际的素数个数。

质数与黎曼猜想

我们之前谈到：质数与黎曼猜想之间有着千丝万缕的联系。1896年，法国科学院举行比赛：征稿证明黎曼定理。两位年轻的数学家阿达马和德·拉·瓦莱布桑获得了这一殊荣。实际上这两位数学家并没有证明黎曼猜想，只是获得了一点进展，但是这一点进展就一举证明了欧拉和勒让德的猜想，把素数猜想变成了素数定理。黎曼猜想的威力可见一斑。

1901年，瑞典数学家科赫证明：如果黎曼猜想被证实，那么素数定理中的误差项c大约是√xln(x)的量级。

然而黎曼猜想到底是对是错？可能我们还需要等待许多年。即便黎曼猜想被证实，人们也只是在质数规律探索的过程中更近了一步，距离真正破解质数的规律，还有很长的路要走。也许质数就是宇宙留给人类的密码。

李永乐老师

答：有很大的把握说：质数肯定存在规律！

只是，目前人类没有掌握其中规律，或者说没有发现有效的方法，去处理质数而已。实际上，数学家已经发现了质数的不少性质，其中就暗示了质数存在规律。

一、质数螺旋

质数规律非常难以掌握，甚至让数学家感到绝望；可是在二十世纪，一个意外的发现，再次激起了数学家对质数规律的寻找。

1963年，在一次会议中，波兰数学家乌拉姆，无聊地在一张草纸上摆弄着数字，然后圈出其中的质数后，惊讶地发现，这些质数居然显现着非随机的模式。随后，乌拉姆扩大了质数范围，得到的图样呈现出某种规律，一下震惊了整个数学界。

随着数学家对质数螺旋的研究，虽然发现了一些以往没被发现的规律，但是对质数整体规律的寻找，还是没有实质性的帮助。

不过质数螺旋表明，看似随机的质数，整体上肯定不是随机的，存在某种未被发现的规律，支配着质数的分布。

二、素数定理（PNT）

素数定理（猜想）最先由大数学家高斯，和另外一位数学家勒让德，几乎同时提出，虽然都知道这个定理的重要性，但是他们都无法进行证明。

直到一百多年后的1896年，两位年轻的数学家阿达马和德·拉·瓦莱布桑，基于黎曼的思路，证明了素数定理。素数定理表明，素数在整体分布上，肯定是存在一定规律的。

三、质数乘积式

这是18世纪的大数学家欧拉发现的，号称质数规律的金钥匙，美妙地把黎曼ζ（z）函数和质数联系了起来。

如果你结合根与系数的关系，稍微扩展一下，就会发现质数的分布，和黎曼函数零点存在若影若离的联系。

如果你看到这是式子，还是认为质数是随机的，那么你对“数学随机”的理解，肯定存在问题！

四、质数分布公式

质数分布公式是存在的，只是公式是否方便计算机处理，则是另外一回事。

比如基于黎曼猜想为前提的黎曼素数计数函数：

这就是一个准确的素数分布公式，不过因为和黎曼函数零点有关，导致实际计算素数时没有太大的作用，更多的是在理论上，指导人们对素数的研究，而且黎曼假设还未被证明。

好啦！我的答案就到这里，喜欢我们答案的读者朋友，记得点击关注我们——艾伯史密斯！

艾伯史密斯

规律1 ，分布越往后越稀疏！

5以上的质数具有以下几个规律:

规律2 ，除1后得出循环小数，且循环小数数目≤质数-1，如1/7=0.142857142857，循环数目为142857为6位，1/17=0.0588235294117647循环，循环数目为16位。

规律3，除1后得出的循环数具有相加为99999999...的特性，即把142857拆开为142+857。则相加为999。用1除以17等质数也有这个特性，得出1/17=0.0588235294117647十六位循环。拆开前半部05882352+后半部94117647=99999999。

规律4，1除质数后得出的循环数具有倍数错位的性质，即1/7=0.142857循环，2/7=0.285714循环，则循环所用数字一样，而且排列顺序一样，只是因为分子不一则开头不一。其他质数也是如此道理。

其他，排列可能跟某种曲线与函数相交叉有关，如黄金螺旋等，待后生研究可得出。

问道历史悬崖

质数是否存在规律？

自然数分为奇数和偶数，而奇数又分为素数和合数。素数当然是有规律的。

第一， 除了2以外，所有素数都是奇数。为了简化，下文所说的素数，不包括2在内。

第二， 尾数为5的数，除了个位数5以外，2位数以上尾数为5的数全是合数。所以2位数以上的素数，尾数只有1，3，7，9四种。

表1：

1， 3， 5， 7， 9

11，13，15，17，19

21，23，25，27，29

31，33，35，37，39

41，43，45，47，49

51，53，55，57，59

61，63，65，67，69

71，73，75，77，79

81，83，85，87，89

91，93，95，97，99

这样排列可以很清楚看出，从两位数起，中间一行尾数为5的数都是合数，其两边是尾数是1，3，7，9，的奇数。当中间的数为25+30n时，两边尾数是1，7的奇数一定是3的倍数。为35+30n时，两边尾数是3，9的奇数也一定是3的倍数，为45+70n时，右边尾数为9的数一定是7的倍数，以此类推，75+70n时，边上尾数7的数一定是7的倍数，95+70n时，边上尾数为1的数也是7的倍数。同样，还可以找出11，13，17等其他素数因子倍数的位置。而为15+30n时，两边必定没有3的倍数，因此孪生素数和四生素数只可能在这样的数两出现。（尾数为9，1的孪生素数只可能出现在30+30n的两边）

合数都是素数因子与其他奇数依次相乘的积。例如3的倍数是6x+9,5的倍数为10x+25,以此类推，任意素数的倍数为

2sx+ss.

函数Y=2sx+ss是直线，ss是截距，2s是斜率。由此可见，素数越大，函数线与y轴夹角越小，但是又永远不会和y轴重合。所以素数和合数都是无限的。

最小的合数是9，所以最小合加合是18.因此小于18的偶数内只有素加素和素加合。所谓哥德巴赫猜想，就是要证明偶数都可以写成两个素数之和，即素加素。但是偶数也可以写成合加合和合加素，这就产生了一个问题，为什么素加素需要证明，而合加合不需要证明呢？难道合加合和合加素是天经地义天然成立不需要证明的吗？既然素加素的证明非常难，不是我等能问津的，那么好吧，我们且不去证明素加素，我们来证明合加合总可以吧？

由表1可知，每3个奇数中必有一个3的倍数，每5个中必有一个5的倍数，每7个数中必有一个7的倍数，以此类推。因此随着偶数增大，合加合也必然随之增多。这里就有一个对立统一的关系，偶数越大，合数越多，素数越稀，但合数越多，合加合也越多，剩下的合数就越少，剩下的合数越少，则除掉合加素之后的素加素就越多。也就是说，随着偶数越来越大，素加素的数量只会越来越多。而事实也正是如此，这就是素数的客观规律。

宋公明5

质数的重要性

质数，也叫素数，我们在小学的时候就知道它的概念：只能被自己和1整除的自然数就叫质数（比如2, 3, 5, 7, 11, 13），质数以外的自然数（就是说除了自己和1，还能被其他的）叫合数。

小时候我们知道质数和合数的定义，也知道要怎么判断，但是我们未必知道质数的意义（不就是只能被自己和1整除嘛，有什么特别意义的）。

我们先来想一想，合数为什么叫合数？我们可以理解为合数是可以由其他的质数合成的数。小学我们就学过质因数分解：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这个质数就叫这个合数的分解质因数。

也就是说，我所有的合数都可以看成是由质数组合而成的，那么，只要我把这些处在最低层的质数的规律摸清楚了，那么上层的合数的规律就不在话下了。

这就好比我们学物理，只要我们把分子原子的规律搞清楚了，那么由分子原子组成的物质的性质也就搞清楚了。而质数在自然数里的地位，就相当于分子原子电子（现在应该是夸克）这些基本粒子在物理学的地位，所以你说它重不重要？

质数的规律

既然质数这么重要，那数学家们都去研究质数的规律啊，都别闲着啊！

数学家们自觉得很，根本不用你催就去吭哧吭哧的研究去了，但是研究来研究去，发现这质数实在太难搞了，压根就没啥规律可言嘛。试图通过简单的多项式来找到质数规律的直接被判死刑了，不信我列举100以内的质数你自己去找找规律看看，看看能找出什么规律：

100以内的质数：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。

数学们发现质数有无穷多个，而且根本找不到简单的多项式通项公式，要研究质数压根不知道从而下手。

这种尴尬的局面一直要到欧拉发现了Zeta函数和质数之间的神秘联系之后才被打破。

欧拉乘积公式

1737年，欧拉在一篇名为《无穷级数的各种观察》的论文中首次发现了质数和Zeta函数之间的一种关系：Zeta 函数的求和等于1减去质数的-s 次方的倒数的求积。

这个公式叫做欧拉乘积公式（p为质数）：

这个公式看不太懂也没关系，反正我们只要知道欧拉第一次发现了质数的乘积和Zeta函数的求和之间存在一种关系就行了。这种关系是现代质数理论的基础，并且给后人指明了一个方向：想要了解质数的规律么？那么就去研究Zeta函数把，质数的规律极有可能就藏在Zeta函数里面。

质数的计数函数π(x)

在上面我们提到，想找到一个简单的多项式公式来描述质数是不可能的，那我来研究一下质数的分布规律总可以吧，我想知道100以内大概有多少个质数，100万以内大概有多少个质数，这个也非常的重要。

高斯引入质数的计数函数π(x)就是用来干这事的，π(x)表示小于x的质数数量，比如π(100)就表示小于100的质数有多少个。

π(x)其实是一个客观确定的函数，比如我们都知道10以内的质数一共有4个（π(10)=4），20以内的质数一共有8个（π(20)=8），100以内的质数总共有25个（π(100)=25）等等。那么接下来我们就要找一个已知的函数来模拟它，让这个函数取10的时候，它的值为4，取20的时候值为8，取100的的时候值为25。

因为我们没有找到描述质数的准确规律，所以我们也无法找到一个精确的描述质数分布的函数，于是我们就只能尽可能去找一个误差比较小的函数来代替它，让我们对质数的分布有个大致的把握。

质数的计数函数π(x)是高斯提出来的，他自己先给出了一个近似模拟π(x)的函数：x/ln(x)。并且提出：当x逐渐增大到无穷大时候，π(x)和x/ln(x)应该近似相等。这个就叫素数定理。

后来，人们又提出了一个模拟π(x)的函数Li(x)，这个函数比x/ln(x)更加精确。

这几个函数的图如下，我们可以看到Li(x)偏大，x/ln(x)偏小。相比之下Li(x)确实更加精确一些。

但是，即便如此，数学家们还是不满意。Li(x)即便精确一些，但是当x取到亿级的时候，它将产生两千多个误差，这对眼里容不得沙子的数学家来说，依然是不可接受的。

难道就不能再找到更好的结果了么？

黎曼登场

前面做了那么多铺垫，我们的主角黎曼终于要登场了。

我们先看一看这几个人的出生年代：欧拉（1707-1783）、高斯（1777-1855）、黎曼（1826-1866）。高斯比欧拉小了70岁，黎曼比高斯小了49岁，而黎曼正好是高斯最得意的学生。从上面我们发现最悲伤的事情是：

如果黎曼能活得跟欧拉高斯一样久，黎曼猜想或许早就被黎曼自己解决了，而且说不定黎曼能把相对论搞出来（爱因斯坦的广义相对论的数学工具就是黎曼几何）。黎曼的创造力和对数学的洞察力太惊人了，他随便一个证明从略的东西就要花费后世数学家几十年的时间去证明，而黎曼的运气又太差了，他极其珍贵的手稿在他死后被管家一把火烧了，可见身体是革命的本钱啊！

1859年，黎曼发表了关于质数分布的论文《论小于某给定值的素数的个数》，这是他在这个领域发表的唯一的一篇论文，却被认为的该领域最重要的论文，不得不说有才就是任性。

黎曼 Zeta函数

关于Zeta函数我们在上面已经介绍了，欧拉第一个发现了质数和Zeta函数之前存在着某种不可告人的秘密，但是这种关系毕竟很有限。

黎曼做的一个重要的工作就是：把Zeta函数推广到了复数，然后在复数这个更高的角度发现了Zeta函数跟质数之间更加深刻的关系。

我们先来回忆一下复数的概念：-3，2，0，1，5这种数是整数，整数加上有限小数和无限循环小数构成了有理数，有理数加上π、根号2这种无限不循环的无理数一起构成了实数，实数和虚数一起构成了复数。

虚数主要是通过一个虚数单位构成的，这个虚数单位记做i，这个i的一个神奇的特性就是：i的平方等于负一，即i^2=-1。

我们知道，在实数范围里，任何一个数的平方都是大于等于0的数，但是现在出现了一个i，它的平方居然等于-1，那么这个i肯定就不是实数里面的了。那么，有这个i组成的数就叫虚数，实数和虚数一起就叫复数。

根据上面的定义，一个复数就可以写成s = σ + it（其中σ 和 t 均为实数，i为虚数单位），当t=0的时候，这个复数就变成了一个实数。

黎曼Zeta函数就是把原来的Zeta函数拓展到了这个复数里面，也就是说下面的s代表一个复数。

函数的零点

我们在初中的时候就接触过方程和函数。

方程是一个含有未知数的等式，使用方程可以让我们省去逆向思维的痛苦，这在数学里是一个非常重要的思想。通常我们会把方程里所有的项都移到左边，然右边只剩下一个0，而通过解方程就可以求解出这个未知数。

比如，2x-4=0这是一个方程，因为只有x一个变量，而且最高次项只有一次（没有平方立方啥的），所以这叫一元一次方程，也是最简单的方程。我们通过观察，很轻松的就可以发现当x=2的时候这个等式是成立，所以这个方程的解就是x=2。

然后，我们把方程的左边单独摘出来，把它赋给另外一个变量y，这样就变成了

我们观察这个函数，当x=1的时候，y=-1;x=2的时候，y=0；x=3的时候，y=2等等等等。给定一个任何的x，我们的y都有一个唯一的值跟它对应。

那么，当x等于多少的时候，y等于0呢？这个问题就是函数的零点的问题，大家观察一下就可以发现，如果y=0那么这个函数就变成了y=2x-4=0，这不就是之前的方程么？因为函数的零点问题其实是跟这个函数对应的方程的解的问题联系在一起的，所以，这个函数的零点问题就显得特别的重要。

那么好，在我们这个y=2x-4这个函数里，它有零点，并且只有x=2这一个零点，但是在很多函数里，它的零点就不止一个。比如说y=x^2-4（x的平方减4），这个函数就有x=2和x=-2两个零点，它有两个零点就意味着它对应的方程有两个解，以此类推。

黎曼Zeta函数的零点

我们现在了解了一个函数的零点的概念，也懂得了它的意义，那么黎曼Zeta函数它是不是也是一个函数呢？既然是一个函数，那么它是不是也有零点？那么它的零点应该是什么样的呢？

上面我们也说了，这个Zeta函数之所以要称为黎曼Zeta函数，就是因为黎曼把这个函数拓展到了复数领域，那么相应的，这个函数的零点也应该是复数。

我们就假设黎曼Zeta函数的零点s=a+bi（这是一个复数，a为实数部分，简称实部，b为虚数部分，简称虚部）

黎曼对根据零点实部的大小给这些零点分了一个类：a<0的零点，0<=a<=1的零点和a>1的零点。

实部a<0的零点：这部分零点非常的简单，就是在负偶数的地方有零点，比如-2，-4，-6，-8……因为这部分的零点是在是太平凡了，所以它们叫

实部a>1的零点：通过计算，黎曼发现当实部a>0的时候，函数压根就没有零点，也就是说，在这里不存在零点。

实部0<=a<=1的零点：小于0和大于1部分的零点都容易解决，这部分处在临界地区的零点是最复杂的，也是被研究的最多的，这部分的零点因为非常的复杂，非常的不平凡，所以被称为不平凡零点。跟黎曼猜想息息相关的，正是这些不平凡零点。

黎曼猜想

黎曼在研究这些非平凡零点的时候，发现他求解的非平凡零点的实部a都等于1/2，但是他无法给出证明，无法从数学上推导出黎曼Zeta函数的非平凡零点的实部都等于1/2。

于是，黎曼就给出了鼎鼎大名的

如果黎曼猜想是正确的，那么以后黎曼Zeta函数的非平凡零点就可以都写成s=1/2+bi的形式。

据说我们已经用计算机已经验证了10万亿个非平凡零点，发现它的实部都等于1/2，但是10万亿不等于所有，在无穷面前依然是沧海一粟。

当然，因为黎曼猜想非常的好用，所以，很多数学家也等不到黎曼猜想被证明（他们相信黎曼猜想应该是对的，只是现在还无法证明而已），他们就直接假设黎曼猜想是对的，然后继续进行他们的工作。据说，目前已经有一千多个命题是基于黎曼假设正确提出来的，也就是说，如果黎曼猜想最终被确切证明是正确的，那么这一千多个命题就会荣升为定理，如果黎曼猜想不幸是错误的，那么一千多个命题就会集体陪葬。

一条猜想关系着如此多命题的命运，这在数学史上都是前无古人的。

不平凡零点和质数

我们在上面已经说过，零点的意义是很重要的。在黎曼猜想之后，黎曼就开始研究它们和质数之间的关系，因为我们研究Zeta函数，研究不平凡零点，最终都是为了研究质数的规律。

高斯之前定义了一个质数的计数函数π(x)，黎曼把这个质数的计数函数自己包装了一层，提出了一个黎曼质数计数函数J(x)，其中：

然后，黎曼给出了质数计数函数的准确形式，并发现它跟非平凡零点有非常大的关系。这样，非平凡零点的意义一下子就凸显出来了。同样的，我贴出来的这些公式，不理解也无所谓，反正就是只要知道黎曼质数计数函数跟非平凡零点之间有种关系就行了，观其大意，抓住要点，不求甚解。

再回忆一下，质数计数函数是什么意思？它表达的是小于这个数的范围内有多少个质数，这其实就是在研究

不平凡零点的意义

不平凡零点虽然是黎曼用Zeta函数来研究质数的时候蹦出来的东西，但是这东西一旦出来了就不再受控了。

比如，物理学家居然发现这个不平凡零点的分布跟多粒子系统相互作用下能级的分布有这某种惊人的相似性。

这些零点的分布到底有什么规律？这些零点到底有什么意义？它是不是无意中泄露了某种新的天机？我们可能只是通过质数的研究无意中把它炸了出来，但是它的真实能量可能远远不止如此。

也正因为这些不平凡的零点慢慢变得如此不平凡，黎曼猜想就变得愈发的重要，毕竟，对于这些不平凡零点来说，它们是实部是不是永远等于1/2，这可是个大事

结语

不知不觉，文章快6000字了。

黎曼在1859年提出了黎曼猜想，这问题在159年之后依然悬而未决，可见问题难度之大。因此，要把这个问题跟不太懂高等数学的人讲清楚是非常困难的，尤其长尾科技是打算让初中生甚至小学生也能看懂黎曼猜想（如此伟大美妙的思想，凭什么不让初中生小学生了解？），因为小学初中时期是学生思想最纯的时候，那个时候的学生是发自内心的想当科学家。如果我的文章能够让初中生小学生对黎曼猜想，对数学产生兴趣并自发的研究数学，那长尾科技写文章的目的就达到了。

长尾科技写相对论文章的目的也是如此。长尾就是要把物理、数学、计算机里一些最难以理解，最前沿的科学思想用初中生甚至小学生都能看懂的语言写出来，而且是把他们的原理前前后后都写清楚，而不是简单的介绍一下他们。长尾科技自己没有真的弄懂的东西，绝不轻易下笔，宁可不写，也不要误导别人，也因此，长尾科技的公众号里只有自己原创的文章。

相对论、量子力学、黑洞、超弦、无穷、哥德尔定理、贝尔不等式、人工智能、深度学习，这些超酷的字眼我不能只让科学家们才理解它们啊。我相信科学本身就是非常美的，只要我把科学的美自然的展现出来，别人不需要外力就能自动的爱上它，这也是科普的意义~

最后，长尾科技希望这篇文章能让初中以上（甚至小学）的人能看黎曼猜想，如果有哪里没看懂的可以来公众号或者社群，我还不信就说不清楚了~

再感叹一下：黎曼大大真的太牛了，可惜死的太早，所以大家要记得锻炼身体啊~

长尾科技

我花了1分钟研究了一下，发现质数分布是没有规律的，原因在于每一个数是否是质数的条件都是不一样的，且彼此之间还有影响，以目前人类构造的数学世界是无法解决这个问题的，如果谁愿意出10万块钱赞助费，我愿意花点时间拓展一下数学逻辑体系，随便帮你们解决这个问题！。。。为了证明我不是吹牛逼的，我可以先透漏一点解决这个问题的关键在于描述有序数列的剔除概念以及构造双分子对称级数在复e圆面对数上的斜切投影！

世界论

简单。答案有，还是没有，两个。都是错的，都是对的。2进制说8进制是错的，10进制不服。其实是概念不同，a概念说不对，换个概念对。2,3,5,7。。。。11,13,17,19。。。。23,29。。。。31,37,。。。。41,43,47。。。。51,53。。。。61,67

尝试各种坐标点三向，十字，五向，一个原点

好人坚强1

质数的分布是存在规律的，而且应该可以用一个公式算出来。

由于质数是无限多个的，质数分布规律能数学公式计算的话，其他的数字也可以无限地算出。那么，在什么鬼黑洞啊很宏观的物理运算就有了严密的数学基础，人们就可以利用这些相关的公式去计算最宏观和最微观的东西，甚至于偶然性也就是“无限的”可能性也可以通过质数公式的架构进行计算。

Paul7615

一、质数，也称素数。是否存在规律？回答是肯定的：当然存在规律。它的定义、各种筛法、素数分布定理等均是规律。

二、提问者很可能是想问目前有没有能让非专业研究人员也能看懂的、比较直观的甚至是通项公式之类的规律？我觉得也可以明确回答：没有。将来何时会有，很难说。将来即使有了，喜欢素数和数论研究的大多数非专业研究者恐怕也不容易看懂。

三、素数分布密度很大的、直观分布规律很强的公式和图表很多，这在很多数学书籍、数学游戏中都可以找到。例如n^2+n+41若以不同的整数代入n得出的几乎都是素数。但是它不是素数通项公式。

四、我喜欢也支持非专业的数学爱好者、研究者，因为我本身就是其中之一。但是我也向同好们提个建议，对于重大数学难题的解决，决非易事，必须有深厚的积累。它需要天才、智慧、执着、机遇缺一不可。个人认为，依靠它出名甚至谋生都是不容易的。但是你可以从中得到一些别人没有发现的东西，从中得到兴奋和愉悦。

如牛23

素数存在的规律:一素数在自然数中的密度趋向于零,但永远大于零。二:适合比状态下周期性渐强，定波长周期性渐弱。三素数在自然数中的分布趋向于均匀。四素数存在的位数速度趋向于自然数位数速度。(以上随自然数无限增大)。

關鍵字: 质数 约数 数学