這個問題讓我們從曲線的微分開始說起。
1 曲線的微分
比如，有曲線
:
給出
的曲線段:
要找到一個直線段來近似這個曲線段，也就是找到這個曲線段的微分：
此微分的特點是，當
時，越來越逼近曲線段：
2 切線
這個微分其實就是切線。
2.1 最初印象
初學幾何的時候，切線是這麼定義的：
比如這就是圓、橢圓的切線：
但是這個定義推廣到所有曲線上是不成立的：
2.2 割線的極限
我們需要用極限來定義切線。比如說，要求曲線
在
點的切線：
在
附近找一點
，過兩點作直線
，這根直線也稱為割線：
然後尋找
與
之間的點
，作出割線
：
以此類推，找到點
，作出割線：
把這些割線組成數列：
它的極限
就是切線：
3 導數
剛才只是給出了切線的定義，但是還是不能把切線求出來。下面來看看怎麼求。
3.1 斜率
要求
點的切線，知道了
點座標為
，以及切線的斜率：
其中
，根據直線的點斜式，可求得切線函數
：
就可以得到切線的函數。
3.2 導數
容易有以下推論：
所以來看看割線的斜率怎麼求吧。假設要求
點的切線的斜率，隨便在附近找一點
作割線：
可以看到當
的時候（這也表明了切線是割線的極限），兩者斜率不斷逼近：
先把割線的斜率
算出來，假設
：
因此：
根據剛才的分析可知：
這個極限就被稱為 導數 。
如果，不光在
點可以作出切線，也就是不光在
點可導，而是在某個開區間
內都可導，這就是 導函數 ：
不少教科書、文檔會出現如下的符號，這裡也一併引入：
定義
，稱之為 D算子 ，導函數可以用之表示為：
有時候寫作
，表明對自變量
求導。
算子，英文為“operator”，操作的意思。
算子和函數還是很接近的，只是有以下區別：
在這裡，
算子完成了如下函數之間的映射：
4 切線函數與微分函數
好了，咱們有了導數，可以來求切線函數以及微分函數了。
4.1 切線函數
就切線而言，知道要經過
，也知道斜率是導數
，可以用直線的點斜式得到切線函數：
4.2 微分函數
雖然之前一直說切線就是微分，但是微分函數和切線函數有所不同，因為它們在不同的座標系。讓我們一步步來，把這個關鍵點說清楚。
首先令
，切線函數就變為了：
然後在以
點為原點建立直角座標系（姑且稱為微分座標系吧）：
以
點為原點建立的微分座標系中有，
。這樣在微分座標系中切線方程就很簡單了：
經過一系列操作終於得到了微分函數：
數學上把一系列操作用一個符號
來表示，也可稱為 d算子 ：
微分
算子完成了下列的函數映射：
所以微分函數也寫作：
表示把原函數
通過
操作變為了微分函數
，這樣也區別了微分函數和
座標系的不同。
，因為
是變量，所以
實際上表示的是整個
軸：
因為
代表
軸這根直線，而直線的微分，根據以直代曲的思想，其實就是自己，所以：
因此，這就是微分的代數形式：
切線函數和微分函數的區別在於，前者在
座標系下，後者在
座標系下：
因為微分的代數形式如上，所以導數也可以記作：
所以導數也稱為“微商”，即微分與微分的商。
4.3 微分的自變量、因變量
本節一直都在說，微分是函數：
那麼它的自變量是什麼，因變量是什麼？
微分函數在
座標系下，令
，換元之後就回到了
座標系：
可見，自變量是
，因變量是
。
如果不光是求
點的微分，就像導函數一樣，求某個開區間的微分，那麼微分函數是二元函數：
4.4 微分是線性函數
雖然兩者都是直線，但因為所在座標系不同，所以切線函數和微分函數有一個重大的區別：
這個區別說明：
根據微分是線性函數這點，我們可以很方便地運用線性代數的知識來求解法線函數。
4.5 法線函數
在切點與切線垂直的直線就是法線：
放在
座標系中，隨便找到切線方向、法線方向兩個向量：
即（t代表tangent，n代表normal，分別是英文的切線和法線）：
根據線性代數的知識，知道兩個正交向量點積為0，因此：
所以：
知道法線斜率，並且知道過
，就可以求出
座標系下的法線函數：
線性代數的相關知識對理解微積分很有好處，因為微積分的本質是“線性逼近，以直代曲”。
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