相似三角形与几何知识的综合应用非常广泛，无论是平时的学习中，还是在中考里这部分知识占有一定的比例，所以同学们下决心学好它.
一.与三角形有关的问题
1.如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC.
(1)求证:△ADE∽△ABC;
(2)若AD=3，AB=5，求AF/AG的值.
【分析】(1)∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，又∠EAD=∠CAD，∴△ADE∽△ABC.
(2)由(1)知△ADE∽△ABC，∴AD/AB=AE/AC=3/5，∵∠AFE=∠AGC=90°，∠EAF≈∠CAG，∴△EAF∽△CAG，∴AF/AG=AE/AC，∴AF/AG=AD/AB≈3/5.通过等比代换，最终解出答案.
2.(1)如图①，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长;
(2)如图②，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的长.
【分析】(1)看图，看条件，想到"手拉手"模型，想到△ACD≌△BCE，则AD=BE，算AD的长转换为算BE的长，由条件可分析出∠BAE=90°，∴在Rt△BAE中，由勾股定理可求BE=9，∴AD=9.在这里，熟知手拉手模型，AD转换为BE是关键，否则很难算出AD的长，所以说，熟知常见的模型，灵活转换是解题的重要方法.
(2)也是"手拉手"模型，只不过△ACD与△BCE不是全等关系，那么要考虑相似关系，怎样证明相似呢？由于∠ABC=∠CED=30°，则AC/BC=DC/EC=√3/3，再找夹角相等，从条件不难推得∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴AD/BE=AC/BC=√3/3，看来只要算出BE的长，则问题就能解决，而∠ABC=∠CAE=30°，∠ACB=90°，∴∠BAC=60°，∠BAE=90°，在Rt△BAE中，可求得BE=10，∴由AD/BE=√3/3，可得BE=10√3/3.
二.与四边形有关的问题
3.如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上一点，连接DP，并延长交AB的延长线于点Q.
(1)若PB/PC=1/3，求AB/AQ的值
(2)若点P为BC边上任一点，求证:BC/BP一AB/BQ=1.
【分析】(1)由于矩形ABCD，AB∥DC，AB=CD，则PB/PC=BQ/DC=1/3，∴BQ/AB=1/3，∴(BQ十AB
)AB=(1+3)/3=4/3，即AQ/AB=4/3，∴AB/AQ=3/4.
(2)要证结论，需进行转换，分母变为相同，才能加减运算，∵BQ∥CD，∴PC/PB=PD/PQ，∴(PC+PB)/PB=(PD+PQ)/PQ，即BC/BP=DQ/PQ，∵BP∥AD，∴DQ/PQ=AQ/BQ，∴BC/BP=AQ/BQ，∴BC/BP一AB/BQ=AQ/BQ一AB/BQ=(AQ一AB)/BQ=BQ/BQ=1.
4.在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别与AB，BC边相交于点E、F，连接EF.
(1)如图①，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长;
(2)如图②，将三角板从(1)中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答:
①∠PEF的大小是否发生变化？说明理由;
②直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长.
【分析】(1)易证△ABP∽△DPC，∴AP/CD=PB/PC，在Rt△ABP中，可算出PB=√5，∴PC=2√5.
(2)①，探究∠PEF是否变化，可探究PF/PE的比值是否变化，如图，
过F作FM⊥AD于M，可证△MPF∽△AEP，则PF/PE=MF/AP=2，在Rt△EPF中，tan∠PEF=PF/PE=2，∴∠PEF大小不变.
②线段EF的中点所经过的路线长为√5.理由:取EF的中点为Q，连接BQ，PQ，PB，如图
∵∠EBF=∠EPF=90°，点Q为EF的中点，QP=EP/2=QB，∴点Q在线段PB的垂直平分线上，当E在B处时，点Q在BC的中点Q1处，当E在点A处时，点Q在PB的中点Q2处，根据三角形的中位线定理得Q1Q2=PC/2=√5.∴从开始到停止，线段EF的中点Q所经过的路线长Q1Q2为√5.
三.与圆有关的问题
5.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC，求证:
(1)直线DM是⊙O的切线;
(2)DE²=DF×DA.
【分析】要证切线，D在圆上，连OD，证OD⊥MD，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴OD⊥BC，须证MD∥BC，∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM，∴直线DM是⊙O的切线.
(2)如图，连接BE，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE=∠CBD，∴∠ABE=∠CBE，∴∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE，即∠BED=∠EBD，∴DB=DE，∵∠DBF=∠DAB，∠BDF=∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴DF/DB=DB/DA，即DB²=DF×DA，∴DE²=DF×DA.这里DB等量代换DE是关键.
6.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB:PC=1:2.
(1)求证:AC平分∠BAD;
(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由;
(3)若AD=3，求△ABC的面积.
【分析】(1)∵C是切点，∴连接OC，则OC⊥PE，∵AE⊥PE，∴OC∥AE，∴∠CAD=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠CAD=∠OAC，∴AC平分∠BAD.
(2)PB，AB之间的数量关系为AB=3PB，理由如下:∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠ABC，∵∠PCB+∠OCB=90°，∴∠PCB=∠PAC，∵∠P=∠P，∴△PCA∽△PBC，∴PC/PB=PA/PC，∴PC²=PB×PA，∵PB:PC=1:2，∴PC=2PB，:PA=4PB，∴AB=3PB，
(3)如图，过点O作OH⊥AD于点H，
则AB=AD/2=3/2，四边形OCEH是矩形，∴OC=HE，∴AE=3/2+OC，∵OC∥AE，∴△PCO∽△PEA，∴OC/AE=PO/PA，∵AB=3PB，AB=2OB，∴OB=3PB/2，∴OC/(3/2+OC)=(PB+3PB/2)/(PB+3PB)=5/8，∴OC=5/2，∴AB=5，∵△PBC∽△PCA，∴PB/PC=BC/AC=1/2，∴AC=2BC，在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，∴(2BC)²+BC²=5²，∴BC=√5，∴AC=2√5，∴S△ABC=AC×BC/2=5，即△ABC的面积为5.
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