指數加權平均數（Exponentially weighted averages）
我想向你展示幾個優化算法，它們比梯度下降法快，要理解這些算法，你需要用到指數加權平均，在統計中也叫做指數加權移動平均，
我們首先講這個，然後再來講更復雜的優化算法。
雖然現在恩達老師生活在美國，實際上恩達老師生於英國倫敦。比如這兒有去年倫敦的每日溫度，所以1月1號，溫度是40華氏度，相當於4攝氏度。
世界上大部分地區使用攝氏度，但是美國使用華氏度。在1月2號是9攝氏度等等。在年中的時候，一年365天，年中就是說，大概180天的樣子，也就是5月末，溫度是60華氏度，也就是15攝氏度等等。夏季溫度轉暖，然後冬季降溫。
你用數據作圖，可以得到以下結果，起始日在1月份，這裡是夏季初，這裡是年末，相當於12月末。
這裡是1月1號，年中接近夏季的時候，隨後就是年末的數據，看起來有些雜亂，如果要計算趨勢的話，也就是溫度的局部平均值，或者說移動平均值。
你要做的是，首先使v_0=0，每天，需要使用0.9的加權數之前的數值加上當日溫度的0.1倍，即v_1=0.9v_0+0.1θ_1，所以這裡是第一天的溫度值。
第二天，又可以獲得一個加權平均數，0.9乘以之前的值加上當日的溫度0.1倍，即v_2=0.9v_1+0.1θ_2，以此類推。
第二天值加上第三日數據的0.1，如此往下。大體公式就是某天的v等於前一天v值的0.9加上當日溫度的0.1。
如此計算，然後用紅線作圖的話，便得到這樣的結果。
你得到了移動平均值，每日溫度的指數加權平均值。
看一下上一張幻燈片裡的公式，v_t=0.9v_(t-1)+0.1θ_t，我們把0.9這個常數變成β，將之前的0.1變成(1-β)，即v_t=βv_(t-1)+(1-β)θ_t
由於以後我們要考慮的原因，在計算時可視v_t大概是1/((1-β))的每日溫度，如果β是0.9，你會想，這是十天的平均值，也就是紅線部分。
我們來試試別的，將β設置為接近1的一個值，比如0.98，計算1/((1-0.98))=50，這就是粗略平均了一下，過去50天的溫度，這時作圖可以得到綠線。
這個高值β要注意幾點，你得到的曲線要平坦一些，原因在於你多平均了幾天的溫度，所以這個曲線，波動更小，更加平坦，缺點是曲線進一步右移，因為現在平均的溫度值更多，要平均更多的值，指數加權平均公式在溫度變化時，適應地更緩慢一些，所以會出現一定延遲，因為當β=0.98，相當於給前一天的值加了太多權重，只有0.02的權重給了當日的值，所以溫度變化時，溫度上下起伏，當β 較大時，指數加權平均值適應地更緩慢一些。
我們可以再換一個值試一試，如果β是另一個極端值，比如說0.5，根據右邊的公式（1/((1-β))），這是平均了兩天的溫度。
作圖運行後得到黃線。
由於僅平均了兩天的溫度，平均的數據太少，所以得到的曲線有更多的噪聲，有可能出現異常值，但是這個曲線能夠更快適應溫度變化。
所以指數加權平均數經常被使用，再說一次，它在統計學中被稱為指數加權移動平均值，我們就簡稱為指數加權平均數。通過調整這個參數（β），或者說後面的算法學習，你會發現這是一個很重要的參數，可以取得稍微不同的效果，往往中間有某個值效果最好，β為中間值時得到的紅色曲線，比起綠線和黃線更好地平均了溫度。
現在你知道計算指數加權平均數的基本原理，下一個筆記中，我們再聊聊它的本質作用。
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