銳角三角函數的定義揭示了直角三角形中的銳角與邊之間的關係，在求解銳角三角函數的過程中，經常會遇到一些點、邊、角、形等位置不明確的問題。這個時候就需要我們審清題意，分清情況，畫出可能出現圖形，分類討論，探索解決。下面結合幾個問題，我們一起體會分類思想在解決多解型銳角三角函數問題的應用。
類型1 由邊的位置不確定誘發的分類討論
例1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，有兩邊長分別為3和4，則sinA的值為________
【分析】根據∠C＝90°，兩邊長分別為3和4，由於沒有確定誰為斜邊對邊，需要分類，畫出相應的圖形，再根據sinA＝∠A的對邊/∠A的斜邊，代入計算即可．
【解答】：根據題意畫圖如下：
如圖（1）當BC＝4，AC＝3時，AB＝5，則sinA的值為4/5；
如圖（2）當BC＝3，AC＝4時，AB＝5，則sinA的值為3/5；
如圖（3）當AB＝4，BC＝3時，則sinA的值為3/4；
如圖（4）當AB＝4，AC＝3時，BC＝√7，則sinA的值為√7/4；
則sinA的值為4/5或3/5或3/4或√7/4．
故答案為：4/5或3/5或3/4或√7/4
【點評】此題考查瞭解直角三角形，關鍵是運用數形結合思想，根據題意畫出圖形，求出sinA所對的邊的長，注意不要漏解．
這一問題給我們啟示：當我們求解銳角三角函數值得問題時，發現直角三角形的斜邊和角的對邊的位置不確定時，這時需要分類討論。
類型2 由角的位置不確定誘發分類討論
例2.在△ABC中，AD是△ABC的高，若AB＝√6，tan∠B＝√2/2，且BD＝2CD，則BC＝_______．
【分析】由tan∠B＝AD/BD=√2/2,可設AD＝√2x，則BD＝2x，在RT△ABD中根據勾股定理求得x的值，即可得BD、CD的長，由於∠C的位置不確定，需要分類討論求出點D在線段BC上和點D在線段BC延長線上時BC的CD長．
【解答】∵tan∠B＝＝AD/BD=√2/2，
∴設AD＝√2x，則BD＝2x，
∵AB²＝AD²+BD²，
∴（√6）²＝（√2x）²+（2x）²，
解得：x＝1或x＝﹣1（舍），即BD＝2，
又∵BD＝2CD，∴CD＝1，
當點D在線段AB上時，如圖1，則BC＝BD+CD＝3；
當點D在線段AB延長線上時，如圖2，則BC＝BD﹣CD＝1；
故答案為：3或1．
【點評】本題主要考查解直角三角形，熟練掌握直角三角形的邊角、邊邊、角角間的關係式解直角三角形的基礎，本題需考慮兩種情況是關鍵．本題給我們啟示：當我們遇到角的位置不確定時，常常需要分類討論，分角為銳角和鈍角兩種情形分類求解。
類型3 由於點的位置不確定誘發的分類討論
若點B在AD左側，
∵AB＝2、AD＝1，∴∠ABC＝30°；
若點B在AD右側，
則∠AB′D＝30°，∴∠AB′C＝150°，
綜上，∠ABC的度數為30°或150°，
故答案為：30或150．
【點評】本題主要考查解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握三角函數的定義及勾股定理、分類討論思想的運用． 本題給我們的啟示：當點的位置不確定時，需要分類討論，根據動點在某一線段上或線段的延長線上分別畫出圖形，再構造直角三角形，藉助勾股定理解決問題。
類型4 由形（圖像）的位置不確定誘發的分類討論
例4．在平面直角座標系xOy中，已知一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖像過點P（1，1），與x軸交於點A，與y軸交於點B，且tan∠ABO＝3，那麼點A的座標是_______．
【分析】依題意，由於已知一次函數與x軸的交點A的位置不確定，導致Rt△AOB圖形位置不確定，需要分類求解。已知tan∠ABO＝3就是已知一次函數的一次項係數是1/3或﹣1/3．根據函數經過點P，利用待定係數法即可求得函數解析式，進而可得到A的座標．
【解答】在Rt△AOB中，由tan∠ABO＝3，
可得OA＝3OB，則一次函數y＝kx+b中k＝±1/3．
∵一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖像過點P（1，1），
∴當k＝1/3時，求可得b＝2/3；
k＝﹣1/3時，求可得b＝4/3．
即一次函數的解析式為y＝1/3x +2/3或y＝﹣1/3x+4/3．
令y＝0，則x＝﹣2或4，
∴點A的座標是（﹣2，0）或（4，0）．
故答案為：（﹣2，0）或（4，0）．
【點評】本題給我們啟示：當角所在的三角形位置不確定時，需要分類討論，考慮k大於0和k小於0兩種情形，通常作x軸或y軸的垂線來構造直角三角形，從而將點的座標轉換為線段的長，再綜合利用已知相關的知識，解決問題。
牛刀小試：
1．在△ABC中，若AB＝5，BC＝13，AD是BC邊上的高，AD＝4，則tanC＝_____．
2．在△ABC中，AC＝2√5，點D為直線AB上一點，且AB＝3BD，直線CD與直線BC所成銳角的正切值為1/2，並且CD⊥AC，則BC的長為_____．
【練習答案及提示】
1. 2/5或1/4 根據勾股定理先求出BD的長，CD＝BC﹣BD，再根據三角函數的知識求出tanC的值．本題有兩種情況，若高AD在△ABC內部，若高AD在△ABC外部．
2. 2.5或5 當點D在AB的延長線上時，作BE⊥CD垂足為E，先求出BE，EC，在RT△BCE中利用勾股定理即可解決;當點D在線段AB上時，作BE⊥CD於E，方法類似第一種情形．
知微見諸，以上例題講解我們可以看到分類討論在這裡起到獨特作用，有必要在銳角三角函數問題重視這一數學方法的應用。分類討論，既是一種重要的思想方法，又是一種數學解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸納整理的方法，使知識條理化，訓練思維的嚴謹性。所以它既是思想又是方法，同時也是一種習慣思想。在應用分類討論思想解決問題時，一定要明確何時何類，為什麼分類，這樣才能不重不漏，使複雜的問題得到清晰完整嚴密的完美解答。
閱讀更多 中學數學深度研究 的文章
