我們說幾何有"三寶”，勾股，相似和三角，勾股，主要利用直角三角形三邊長列方程，公式帶有平方，有時計算量大;相似與三角函數，依據邊的比例關係列方程，計算相對簡單，相似與三角函數本質上是一致的，只不過三角函數的計算須放在直角三角形中，相似沒有這一限制條件，所以用途更廣泛。三者相輔相成，在解綜合題中，扮演者重要角色，同學們平時用心體會，尋找高效、簡單的方法，熟練掌握這三大解題利器，下面著重介紹三角函數解學科綜合題。
一.利用三角函數解與函數有關的綜合題
1.如圖，直線y=Kx一1與x軸，y軸分別交於B，C兩點，tan∠OCB=1/2.
(1)求點B的座標與K的值;
(2)若點A(x，y)是直線y=Kx一1上在第一象限內的一個動點，在點A的運動過程中，試寫出△AOB的面積S與x的函數解析式.
【分析】(1)由直線y=Kx一1與y軸交於C點，可得C點座標為(0，一1)，∴OC=1，在Rt△OBC中，∵tan∠OCB=OB/OC=1/2，∴OB=1/2，∴點B的座標為(1/2，0)，又點B在直線y=Kx一1上，∴可得K=2.
(2)由(1)知直線AB對應的解析式為y=2x一1，點A(x，y)在第一象限，∴S=y×OB/2=1/2×1/2(2x一1)=x/2一1/4(x>1/2).
2.已知二次函數y=ax²一2ax+c(a>0)的圖象與x軸的負半軸和正半軸分別交於A，B兩點，與y軸交於點C，它的頂點為P，直線CP與過點B且垂直於x軸的直線交於點D，且CP:PD=2:3.
(1)求A，B兩點的座標;
(2)若tan∠PDB=5/4，求這個二次函數的解析式.
【分析】(1)初看本題好象有兩種情況，即頂點P可能在第三象限或第四象限，仔細觀察發現對稱軸x=一b/2a=一(一2a)/2a=1，則頂點P只能在第四象限，如圖，
設對稱軸與x軸交於E點，∴OE=1，易知OC∥PE∥BD，∴CP:PD=OE:EB=2:3，∴EB=3/2，(這裡斜線段的比轉化為水平線段之比，是一種"斜化直"策略，在有關座標系，網格題，矩形題中常常用到，應仔細體會，後續的文章後會有這樣的習題，同學們多留意一下)，則OB=OE+EB=5/2，∴B點座標為(5/2，0)，∵A，B兩點關於直線x=1對稱，∴A點座標為(一1/2，0).
(2)設直線CP與x軸交於點F，∵tan∠PDB=5/4，易知FB/BD=OF/OC=5/4，緊抓這一三角比，進行變換列方程，求出二次函數關係式中的係數a與c，則得解，如上圖，二次函數與y軸交於C點，易知C點座標為(0，c)，(c<0)，∴OC=一c，∵OF/OC=5/4，∴OF=一5c/4，∴F點的座標為(5c/4，0)，∵直線CP過點C(c，0)，設直線CP的解析式為y=Kx+c，代入點F(5c/4，0)，得0=5/4×cK+c，由於c≠0，解得K=一4/5，∴直線CP的解析式為y=一4x/5+c，易知拋物線頂點P的座標為(1，一a+c)，代入y=一4x/5+c得a=4/5，∴二次函數的解析式寫為y=4x²/5一8x/5+c，將點A(一1/2，0)代入解得c=一1，∴二次函數的解析式為y=4x²/5一8x/5一1.
當然，本題也可這樣做，如圖，過點C作CF⊥BD於點F，交PE於點G，
這樣作輔助線的好處是，可得CF=OB=5/2，從而利用tan∠PDB=CF/FD=5/4，得出FD=2，又可知C點座標為(0，c)，P點座標為(1，c一a)，從而得PG=a，∵PG∥BD，∴△CPG∽△CDF，∴PG/FD=CP/CD=2/5，∴PG=4/5，∴a=4/5，∴y=4x²/5一8x/5+c，把A(一1/2，0)的座標代入y=4x²/5一8x/5+c，得c=一1，∴這個二次函數的解析式為y=4x²一8x/5一1.
上面的解法中，當得到PG=a時，可利用tan∠CPG=tan∠PDB=5/4，同樣能得到a=4/5，(即CG/PG=5/4，因CG=OE=1)，省去計算FD的長，這裡用三角函數與上邊用相似計算a，本質上是一樣的.
3.如圖，反比例函數y=K/x(x>0)的圖象經過線段OA的端點A，O為原點，過點A作AB⊥x軸於點B，點B的座標為(2，0)，tan∠AOB=3/2.
(1)求K的值;
(2)將線段AB沿x軸正方向平移到線段DC的位置，反比例函數y=k/x(x>0)的圖象恰好經過DC的中點E，求直線AE對應的函數解析式;
(3)若直線AE與x軸交於點M，與y軸交於點N，請你探索線段AN與線段ME的大小關係，寫出你的結論，並說明理由.
【分析】(1)∵B點座標為(2，0)，∴OB=2，又tan∠AOB=3/2，∴AB≈3，∴A點座標為(2，3)，∴K=6.
(2)由於E為DC的中點，則E點縱座標為3/2，代入y=6/x，得E點的橫座標為4，即E點的座標為(4，3/2)，由於直線AE過A(2，3)，E(4，3/2)，易得直線AE的解析式為y=一3x/4+9/2.
(3)由於直線AE是確定的，所以N點，與M點是確定的，易得點M(6，0)，N(0，9/2)，又A，E兩點確定，則AN，與ME的長度確定，如圖
延長DA交y軸於點F，則AF=2，OF=3，∴NF=ON一OF=3/2，∴AN=5/2.∵CM=6一4=2，EC=3/2，∴EM=5/2，∴AN=ME.
另，如圖，連接OE，延長DA交y軸於點F，如圖，
則AF=2，又S△EOM=OM×EC/2=6×3/2×1/2=9/2，S△AON=ON×AF/2=9/2×2×1/2=9/2，∴S△EOM=S△AON，∵△AON中AN邊上的高和△EOM中ME邊上的高相等，∴AN=ME.
二.利用三角函數解與四邊形有關的綜合問題
4.在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把△PBC沿直線PC摺疊，頂點B的對應點是點G，過點B作BE⊥CG，垂足為E且在AD上，BE交PC於點F.
(1)如圖①，若點E是AD的中點，求證△AEB≌△DEC.
(2)如圖②，①求證BP=BF;
②當AD=25，且AE ③當BP=9時，求BE×EF的值. 【分析】(1)E是AD的中點，AE=DE，∠EAB=∠EDC=90°，AB=CD，∴△AEB≌△DEC. (2)①如圖， 由題意知∠GPC=∠BPC，又PG∥BE，∠EFC=∠GPC，∴∠EFC=∠BPC，而∠EFC=∠PFB，∴∠BPC=∠PFB，∴BP=BF. ②要求cos∠PCB的值，需求∠PCB所在直角三角形的斜邊與其鄰直角邊的長，當AD=25，且AE ③解法一:如圖，連接GF. ∵BF∥PG，BF=PG，∴四邊形BPGF是平行四邊形，∴BP∥GF，BP=GF=9，易得△GEF∽△EAB，∴EF/GF=AB/BE，:BE×EF=AB×GF=12×9=108. 解法二，易證△EFC∽△BPC，∴EF/BP=CE/CB，又易徵△AEB∽△EBC，∴AB/BE=CE/CB，∴AB/BE=EF/BP，∴BE×EF=AB×BP=12×9=108. 解法三，過點F作FH⊥BC於H，如下圖 ∵S△BFC/S△BEC=BF/BE=9/BE，S△BFC/S△BEC=1/2FH×BC/1/2AB×BC=FH/12，∴9/BE=FH/12，又∠BCP=∠ECP，FH⊥BC，FE⊥CE，∴FH=EF，∴BE×EF=BE×FH=12×9=108. 【總結】從不同的角度，解決同一個問題，有助於提高同學們分析問題，解決問題的能力，同學們平時有意識地進行這方面的練習，總結歸納簡捷高效的交法，在考試中才能遊刃有餘.
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