08.25 「初中數學」旋轉還是旋轉

題目：已知點C是線段AE上的一點，ΔABC與ΔCDE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠CDE=90°，M、N分別是AE、BD的中點，求MN與BD的數量關係與位置關係。

我們把題目的條件弱化：去掉A、C、E共線這個條件，變成下面的圖形，原來的結論還成立嗎？

怎麼解決？

1.ΔBCD逆時針旋轉90度（或看成繞中點M、N旋轉180度）

2.ΔBCD順時針旋轉90度（或看成繞中點M、N旋轉180度）

若先繞中點旋轉180度，需再用“SAS”證全等；若先旋轉ΔBCD，需再證連線過中點。

3.ΔABF旋轉90度得ΔFDE（或ΔABM旋轉90度得ΔFDM\\構造以AE為斜邊的等腰直角三角形AEF\\構造平行四邊形BCDF）

可見，若問題中的主要條件不變，僅是某些圖形的相對位置發生變化，其主要解法思路一致，結論中的主要關係不變（可能產生符號的變化）。

上題的條件還可以繼續弱化，把圖中的等腰直角三角形變成一般的直角三角形，如∠ACB=∠DCE=60°，則MN與BD的位置關係和數量關係是什麼？

同前法，把ΔBCD旋轉90度並縮放√3倍至ΔBAF（或看成點D繞中點M旋轉180度至F點）

如上圖，易得MN=1/2BF=1/2·√3BD=√3/2BD，MN⊥BD。

各位可以發現，當兩個直角三角形進一步一般化，若∠ACB=∠DCE=α，則同樣方法易得結論MN=tanα/2·BD，MN⊥BD。

照此思路，能不能繼續一般化，已知ΔABC∼ΔEDC，且∠ABC=∠CDE≠90°時，MN與BD的夾角會不會還等於∠ABC呢？數量關係還會不會同上呢？

我們會發現若∠ABC=∠CDE≠90°，則剛才的方法統統不適用了。

這是為什麼呢？

上圖中仍把點D繞點M旋轉180度，得DC:AF=DC:DE=BC:AB，但其夾角∠BAF與∠BCD此時不相等了，因∠BAF+∠G＝180°，但∠BCD+∠G≠180°，所以∠BAF≠∠BCD。

而在下圖中，當∠ABC=∠CDE＝90°時得∠CBG+∠CDG＝180°，∠BCD+∠G＝180°，因而可得∠BAF＝∠BCD，證得ΔBAF∼ΔBCD，由此推證上述結論。