與常係數遞推式相比，變係數遞推式的解法更為靈活。
一、一階遞推式
對於一階遞推式
，雖然有公式求
，但使用起來並不方便，不如用如下解法更好。
1. 猜想歸納法
例1. 數列
前n項的和為
，已知
，寫出
，並求
關於n的表達式。
解：
時，
，可得
且
，故可猜想
。
以下不難用數學歸納法證之（略）。
2. 不動點法
若遞推式
存在不動點，則可藉助不動點構造新數列求解。
例2. 已知
，求
。
解：令
（不動點），原數列化為
從而
。
3. 等價轉換法
可考慮將變係數遞推式轉化為常係數遞推式來解。
例3. 解遞推式
，其中
。
解：令
，則原數列化為
①
其中
，①式的特徵根為
且①的特解為
，代入①中得
，得
，故①的通解為
，由
得
。
所以
，
從而
。
即
。
例4. 解遞推式
解：原式變為
①
令
，則①化為
所以
二、二階遞推式
對於二階遞推式
（1）
若滿足下列情形，可用特殊方法解。
1. 降價法
當（1）可化為
，其中
，
，可用遞推法解。
例5. 設
，對一切自然數n有
，求所有能被11整除的
值。
解：令
原數列化為
令
，原數列又化為
，所以
，所以
，由此得
，當
時，因為
能被11整除，故
也能被11整除，所以所求答案為
，
和
。
例6. 已知
，求
。
解：由
，原數列可化為
從而
，所以
。
例7. 已知
。
解：由
，原數列可化為
。所以
，設
，用累加法可得
。
所以
2. 化為常係數遞推式
例8. 解遞推式
，求
。
解：原數列即
，
可化為
①
設
，則①化為
或
②
或令
，則②又可化為
，即
，解得
。
所以
。
從而
。
例9. 求方程
的通項，
。
解：原方程即為
令
，則①又可化為
②
②的特徵方程為
，其特徵根為
。
②的解為
，又
從而
，
所以
。
三、分式遞推式
對於分式遞推式
，若
，可用倒數法化為
表示的數列來解。
例10. 已知
滿足
，求
通項。
解：將原式兩邊取倒數化為
故
為等比數列，首項是
，公比是
，所以
，解得
。
類似地對
也可同法解之。
四、高考綜合題分析
用上述所講方法來考察高考中的綜合題有關變係數遞推式的解法是十分有益的，下面分析如下。
例11. 數列
滿足
，（I）用數學歸納法證明
；（II）已知不等式
對
成立，證明：
，其中
…
分析：本題遞推式屬於
，用數學歸納法可很方便地解決（I），而第（II）部份為利用題設中
，需將
放大（利用
然後尋找對應數列的不動點來構造新數列便可計算出
的上界。
解：（I）略。
（II）用數學歸納法易證
，故
。利用
的不動點
，可令
，上述不等式可化為
。
所以
，從2到n求和可得
從而
，即
，故
，顯然
，
，從而有
都成立。
例12. 已知數列
滿足
，
（I）求數列
的通項公式；
（II）若數列
滿足
，證明
是等差數列；
（III）證明
分析：本題第一部分用不動點法很方便，第二部分利用（I）結論得變係數遞推式後可用階差法、不動點法或猜想歸納法之一便可解之，第三部分應用放縮法可證之。
解：（I）由
。
（II）解法1（階差法），由已知得
所以
①
又
，②
得
，
可得
③
且
，④
得
所以
為等差數列。
解法2（不動點法）
解法1中③的不動點為
，③可化為
由③令
，得
，所以
，所以
為常數數列，即為等差數列。
（III）首先
所以
。
又
求和可得
。
所以
▍ 編輯：Wulibang（ID：2820092099）
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