全等三角形的性質和判定是初中數學的重要內容，也是學習其他幾何知識的基礎，三角形全等的判定和性質是判斷線段相等、角相等的重要依據，由此還可以獲得直線之間的垂直（平行）關係，線段（面積）的和、差、倍、分關係。今天我們將對四種常見的幾何關係進行探究，學會了幾何再也難不住你了！
類型一：位置關係
例1：如圖：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB．求證：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN．
【分析】（1）根據直角三角形兩銳角互餘可得∠1＝∠2，然後利用“邊角邊”證明△ABM和△NCA全等，根據全等三角形對應邊相等即可證明；
（2）根據全等三角形對應角相等可得∠3＝∠N，再根據CF⊥AB可得∠4+∠N＝90°，所以∠3+∠4＝90°，即∠MAN＝90°，從而得證．
【解答】證明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠1+∠BMF＝90°，∠2+∠CME＝90°，
∵∠BMF＝∠CME（對頂角相等），
∴∠1＝∠2，
（2）根據（1）可得△ABM≌△NCA，
∴∠3＝∠N，
∵CF⊥AB，
∴∠4+∠N＝90°，
∴∠3+∠4＝90°，
即∠MAN＝90°，
因此，AM⊥AN．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，已知兩組對應邊相等，想法證明這兩邊的夾角相等是解題的關鍵，思路比較清晰．
類型二：相等關係
例2：如圖，在△ABC中，點D在BC上，點E在AD上，AB=AC，EB=EC，試說明：BD=CD
【分析】方法一：利用三角形全等，證明AB＝AC，再利用三線合一證明．
方法二：利用線段的垂直平分線的判定和性質證明．
方法二：∵AB＝AC，EB＝EC，
∴點A在線段BC的垂直平分線上，點E在線段BC垂直平分線上，
∴AE垂直平分線段BC，
∴BD＝DC．
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質，線段的垂直平分線的性質和判定等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬於中考常考題型．
類型三：和差關係
例3：如圖，∠
BCA＝α，CA＝CB，C、E、F分別是直線CD上的三點，且∠BEC＝∠CFA＝α，請提出對EF，BE，AF三條線段之間數量關係的合理猜想，並證明．
【分析】由題意推出∠BCE＝∠CAF，再由AAS定理證△BCE≌△CAF，繼而得答案．
【解答】EF＝BE+AF．
證明：∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，
∠α＝∠BCA，
∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，
∠CFA+∠CAF+∠ACF＝180°，
∴∠BCE＝∠CAF，
【點評】本題考查了全等三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL ．
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
類型四：倍數關係
例4（2018秋•嘉蔭縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝∠A，∠ACB＝90°，D為AB邊的中點，∠EDF＝90°，∠EDF繞點D旋轉，它的兩邊分別交AC，CB（或它們的延長線）於點E，F．
當∠
EDF繞點D旋轉到DE⊥AC於點E時（如圖①），易證S△DEF+S△CEF＝S△ABC；當∠EDF繞點D旋轉到DE和AC不垂直時，在圖②和圖③這兩種情況下，上述結論是否仍成立？若成立，請給予證明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎樣的關係？請說明你的猜想，不需證明．
【分析】如圖②連接CD，證明△CDE≌△BDF，即可得出結論；如圖③，同（1）得：△DEC≌△DBF，得出S△DEF＝S 五邊形DBFEC＝S△CFE+S△DBC＝S△CFE+1/2S△ABC．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、圖形面積的求法；證明三角形全等是解決問題的關鍵．
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