我们说某种制度好,是因为每个人都能理性地做出判断,而且规则是公正透明的。既然每个人都理性,那么每个人的意见加总起来,不也应该是理性的吗?
让我们再讲得清楚一些。什么叫每个人都是理性的?你的观点要前后致,不能不符合逻辑吧。在数学上,如果A>B,B>C,那么A>C,这没错吧?不辣、微辣、变态辣,放在一起,由你来选,如果你认为不辣比微辣好,微辣比变态辣好,那么你一定会认为不辣比变态辣好,这叫可传递性。
什么是所谓的集体选择规则?首先,如果大家来投票,按照事先规定好的规则,大家认为A比B好,那么,就要选A而不是B。这在经济学术语上叫“帕累托法则”,这是由意大利学者帕累托最早严格定义的。其次,你不能限制某些观点和偏好,比如,你不能规定所有的人都要喜欢清淡的口味,有人就是口味重,最喜欢变态辣,不行吗?这在经济学上被称为“无限制定义域”( unrestricted domain),也就是说不许对公民的偏 进行人为限制。再次,当你在对两个选项做出选择的时候,你要就事 论事,就这两个选项表达自已的看法,不能因为其他选项的存在就干扰 了自己的意见。这叫“无关备选项的独立性”( independence of irrelevantalternatives)。最后,我们要有个限制条件,即不能有独裁者。这是说,所 有集体选择的结果应该是由每个人自己投票投出来的,不能有人跟大家不一样,搞特殊,能帮别人做决定。
什么是阿罗不可能定理?阿罗证明了,当一个社会中的个体数目确定,面临的是不少于三种方案的选择时,不可能同时满足帕累托法则、无限制定义域和无关备选项的独立性以及非独裁这四个条件。
等一等,阿罗到底是怎么证明的?接下来我简要介绍一下推导思路
推导阿罗不可能定理的关键在于,把社会个体的集合设为G,要证明G具有“可决定性”( decisiveness)且不违反上述四个条件,也就是说,这个社会个体的集合说了算。这个G从理论上讲是可以只有一个人的,如果有这么一个只有一个人组成的具有“可决定性”的G,就违反了非独裁者条件。
假定有特定一组备选组(x,y),也就是说,要从x和y中间做出选择。如果集合G中的所有个人都偏好x胜于y,则x较y一定是社会最优的。如果对任意备选组都局部成立,则这个社会个体的集合G具有全局“可决定性这是比较容易证明的,但这只是第一步
证明的第二步是:如果社会个体的集合G具有可决定性(且其中个人数目大于1),则G的某些部分(“真子集”)也具有可决定性。这一步的证明是把C分拆为两个子集G1和G2,并证明G1和C2二者其一必具有“全局”可决定性。要是你能够证明了这一步,那么好了,你可以继续拆分下去,直到G的某个子集中只包含一个个体,于是,G的这个子集同样具有“全局”可决定性,而这和非独裁者条件是违背的。
这样研究民主制度有什么意义呢?在阿罗出现之前,讨论民主的学 者是“见山是山,见水是水”,而在阿罗出现之后,一切都要重估,研究民主问题进入了“见山不是山,见水不是水”的境界。阿罗把一个公说公有理、婆说婆有理的问题变成了一个可以用数理逻辑一环扣一环分析的问题。其实,阿罗最初的数学证明也有错误,后来才有更年轻的学者指出来,但他提出的这个分析框架开创了一个崭新的领域。
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