可以相信，明天谁不能熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人。
——美国物理学家约翰•惠勒
一. 分形几何学起源
数千年以来，几何学的研究者一直认为能用几何来揭示自然的奥秘。甚至近代物理学的奠基者、伟大的科学家伽利略极其权威地断言："大自然的语言是数学，它的标志是三角形、圆和其他几何图形"。然而在很长的时间中传统几何学所描述的三角形、圆等几何图形都只是具有可切性的规则形体。这类形体在自然界里只占极少数。
自然界大多数的图形都是十分复杂而且不规则的。古代人们对于自然现象复杂性的描述，有许多例子。中国藏族十世纪的壁画对天上云彩形状的刻画和日本早期对海浪的描述，都充分显示了人们对自然现象复杂性的认识。
在山西五台山南山寺的影壁墙上的碑文中，在清朝时代就有了"日月光明，分形变化"的语句。
1883年，康托尔为数学引入了一个分形：康托尔集，取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段再分别三等分……如此重复这样的操作一直继续下去，直至无穷。
由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散非空的点集(线段的端点都没有去掉，其非空性是显然的)，其lebesgue测度为零(大家可以形象的理解为长度)。这个点集被称为康托尔点集。
1890年，意大利数学家皮亚诺（Piano）构造了一种奇怪的曲线，该曲线自身并不相交，但是它却能通过一个正方形内部所有的点。换句话说，这条曲线就是正方形本身，进而应该拥有和正方形一样的面积！这个怪异的结论让当时的数学家大吃一惊，更让数学界感到深切的不安：如此一来，我们拿什么来区分曲线和平面？这条曲线究竟是一维，还是二维？经典的几何在它面前束手无策。这只被放逐出来的怪兽，正式奏响了分形几何研究的序曲。
1895年，魏尔斯特拉斯提出了第一个分形函数"魏尔斯特拉斯函数"。
并凭借函数曲线特点"处处连续，处处可以无限细分下去，"证明了所谓的"病态"函数的存在性。
1906年，科赫在论文《关于一条连续而无切线，可由初等几何构作的曲线》中提到了一种像雪花的几何曲线，它的每条曲线都可以相似的形状无限大的细分下去，而这个雪花曲线就是特例科赫曲线。
1914年，波兰数学家谢尔宾斯基利用等边三角形，沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，去掉中间的那一个小三角形。再对其余三个小三角形重复之前的操作，发现了可以无限细分下去的谢尔宾斯基三角形。
两年后，他用类似的方法将正方形进行分形，发现了正方形的分形——谢尔宾斯基地毯。
维度概念的扩展，则得益于德国数学家豪斯多夫（Hausdorff）。他在1919年提出了维度的新定义。该定义为人们成功驱散了笼罩在分形曲线身上的迷雾奠定了基础。
1967年，美国《科学》杂志发表法国数学家曼德尔布罗特撰写的"英国的海岸线有多长"，该文成为分形研究的划时代论文，是分形思想萌芽的重要标志。1973年，曼德尔布罗特提出了分形几何学的整体思想；1975年他创造了fractal一词，用来描述那些不规则、破碎不堪、不光滑、不可微的东西，
1975年冬天他将把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形，创立了"分形"这个概念。在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论，并出版图书《分形：形状、机遇和维数》(Frzctal, Form, Chance, and Dimension)，并由此创立了"分形几何理论"从而把数学研究扩展到了从前几何学无法涉足的那些"病态曲线"和"几何学怪物"的领域。
1982年，《大自然的分形几何》(The Fractal Geometry of Nature)与读者见面，此书被分形界学者视为"圣经"。
二. 分形几何学应用, 是描述大自然的科学
生活中常见的花菜、雷雨过后的闪电、凛冬漫天飞舞的雪花、贝壳身上的螺旋图案，小至各种植物的结构及形态，遍布人体全身纵横交错的血管，大到天空中聚散不定的白云、连绵起伏的群山，它们都或多或少表现出分形的特征。乍看起来杂乱无章的分形，原来是大自然的基本存在形式，无处不在，随处可见。
一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系。其生成规则保证了小尺度上的特征成长后就变成大尺度上的特征。
动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。再例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这些例子在我们的身边到处可见。
自然界的现象通常都发生在某种特征标度上，如特征长度、特征时间等特征尺度上。科学家关于事物特征的描述最基本的莫过于问它有多大，持续多久。这都是依赖于标度（尺度）的一些基本性质。每种事物都有其特征尺度，例如天体物理学家描写的宇宙结构，大约在数百万光年的范围上；生物学家认识的微生物的结构大约有微米的长度；物理学家研究的夸克，约在10^-13厘米的数量级上。每一个具体事物，都与特定的尺度相联系。几厘米长的昆虫与几米、十几米大小的巨兽在形态、结构上必然极不相同，否则它们就无法生存和繁衍。《楚辞·卜居》中说："夫尺有所短，寸有所长"。这也是说事物都有其自己的特征尺度，要用适宜的尺去测度。
曼德尔布罗特关于大自然过程里不规整花样的研究以及他关于无穷复杂形象的探索最终汇流到一个交结点上，这就是自然事物的"自相似"这个特性。"大自然在所有标度上同时起作用"。自然界的许多事物在其内部的各个层次上都具有自相似的结构，在一个花样内部还有更小的同样的花样。自相似物体不具有特征标度，它是跨越尺度的对称性；它在不同测量尺度上看去差不多一样，是一种"无穷嵌套的自相似结构"。"分形"就意味着"自相似"。一个几何图形，如果它的组成部分与图形整体之间有某种相似性，就称为"分形"。"自相似"的思想在人类文化的各个方面都有所反映。中国古代就有"袖里有乾坤，壶中有日月"和"一尘一世界"的说法。
曼德尔布罗特曾引颂《格列佛游记》的作者J.斯韦夫特(J.Swift1667～1745)的一首打油诗："博物学家看仔细，大蚤身上小蚤栖；更有微蚤叮小蚤，递相啮噬无尽期。"德国哲人莱布尼兹(G.W.F.Von Leibniz1646～1716)也曾设想，在一滴水里包含着多姿多彩的世界，其中又有许多滴水，每滴水又各有新的世界。
分形不仅在所有的标度上都有结构，而且在所有标度上都有相同的结构。1904年，瑞典数学家科赫(Koch，Helge Von 1870～1924)构造的"雪花曲线"，严格地显示了分形这种有趣的特征。设想给出一个正三角形，再不断进行如下变换：在每边正中的1/3边上再造一个凸出来的正三角形，使原三角形变成六角形；在这个六角形的12条边的每条边中间的1/3上再凸出一个正三角形，变成一个4×12=48边形；反复操作这种变换以至无穷，其边缘愈来愈增添精细结构，得到一个由分形曲线（"科赫曲线"）围成的科赫岛，好似一个雪花。
科赫曲线是一条连续的环，绝不自身相交；每次变换都会使"科赫岛"的面积稍有增加，但总面积永远是有限的，并不比原三角形的面积大很多（小于原三角形的外接圆）；但科赫曲线的总和却是无穷长的。这似乎是一个矛盾的结果：岛的面积有限，但周长无穷大；或者说一条无限长又绝不自交的曲线包围成了一个有限的面积。
简单地说，分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。
维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应，也容易确定维数。但通常人们习惯于整数的维数。
分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的"非规则"程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概念。 当我们画一根直线，如果我们用 0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是 0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。
对于我们上面提到的"科赫岛"曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是 0（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与"科赫岛"曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于 1、小于 2，那么只能是小数了，所以存在分维。经过计算"科赫岛"曲线的维数是1.2618……。
三. 分形几何学拓展应用
分形几何学将艺术和数学联系在了一起，本华·曼德博向世界展示了这些惊人的艺术创作，之后分形艺术便一发不可收拾。
分形的研究，是力图以数学的方法模拟自然界存在的、科学研究中出现的那些看似无规律的各种现象。在过去几十年里，分形在物理学、材料科学、地质勘探等方面都得到了广泛的应用；由于分形的引入，使得一些学科焕发了新的活力。
借助计算机辅助设计，分形艺术不同于普通的"电脑绘画"，它主要利用分形几何学原理，借助计算机强大的运算能力，将数学公式反复迭代运算，再结合创作者的审美及美术功底，就将创作出一幅幅精美的艺术画作。从此以后，我们看到的几何不再只有那些枯燥的单一图形推理演算，更有了它美轮美奂的另一面。
即使那些不了解分形科学的局外人和旁观者，偶尔涉猎到分形图案，也会被其美丽的几何形状、精致的图案结构以及迷人的色彩所打动，借助电脑、互联网，我们能欣赏到更多的分形艺术。
"分形艺术"以一种全新的艺术风格展示给人们，使人们认识到该艺术和传统艺术一样具有和谐、对称等特征的美学标准。她是科学上的美和美学上的美的有机结合。
分形使人们觉悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美上的统一，使昨日枯燥的数学不再仅仅是抽象的哲理，而是具体的感受；分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索。
在某些电化学反应中，电极附近成绩的固态物质，以不规则的树枝形状向外增长。受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物，不断因新的沉积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分形。
如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动)，这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。
现在，分形几何被用来描述各种复杂现象。分形还能帮助我们理解湍流，了解它如何产生以及自身的运动情况。
血管也可以认为是分形，因为它们可以被逐步细分成无限小的部分。它们进行所谓的"空间魔术"，将大的平面区域挤压成有限的体积。
肺部是一种分形。
人类的大脑更是分形艺术的杰作。大脑表面的皱纹也呈现出复杂的分形结构，目的就是为了在有限的体积内，能拥有更大的表面积，从而可能拥有更加复杂的思考能力。科学家估算出大脑的分形维数大致在2.75左右。
分形几何学可精确识别癌细胞。 美国克拉克森大学的研究人员发现，与健康细胞相比，癌细胞在外观上具有更为显著的分形特征。初步实验显示，以此为依据的检测均获得了极高的准确度。
从金属表面的分形维我们可以看出它的强度。
分形混沌之旋风，横扫数学、理化、生物、大气、海洋以至社会学科，在音乐、美术间也产生了一定的影响。
分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。
参考文献：
陈颙, 陈凌. 2018. 分形几何学. 第二版. 北京: 地震出版社
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