姚岳飞
为什么五个连续正整数能被120整除这个问题
①连续两个正(或负)整数中必然有一个是2的倍数。
②连续三个正(或负)整数中必然有一个是3的倍数。
......
所以有：
公理1：连续n个正(或负)整数中，必然有一个是n的倍数。
根据公理1，可以得到：
推论：连续n个正(或负)整数的积，必然是n!的倍数。
可表示为：
n!丨n(n+1)(n+2)...(2n-1).
那么，120就是5!，必然整除连续5个正整数
陈氏养生饼
先来看一个命题：
k 个连续正整数之积一定可以被 k!（k 的阶乘） 整除，即，对于任意 非负整数 m 有 k! | (m+1)(m+2)...(m+k)。
证明：
(m+1)(m+2)...(m+k)
= 1×2×... ×m×(m+1)×(m+2)×...×(m+k) / (1×2×... ×m)
= (m+k)!/m!
= k! [(m+k)!/(m!k!)]
而从a 个元素中任意选取 b 个元素的 可能组合数 为：
C(a, b) = a!/((a-b)!b!) (b≤a)
令 a = m+k， b = k，则有：
C(m+k, k) = (m+k)!/((m+k-k)!k!) = (m+k)!/(m!k!)
因此有：
(m+1)(m+2)...(m+k) = k!C(m+k, k)
C(m+k, k) 即，从 m+k 个元素中任意选取 k 个元素的 可能组合数，它 一定是个 正整数，这就说明 k! 一定整除 k!C(m+k, k) 也就是 整除 (m+1)(m+2)...(m+k))，即，
k! | (m+1)(m+2)...(m+k)
得证
当命题中，k = 5 时，k! = 5×4×3×2×1 = 120，于是我们说：5个连续正整数之积必能被120整除。
此命题的常见结论是：
- 任意 3 个连续正整数的积都可以被6整除；
- 任意 2 个相邻正整数的积都可以被2整除；
这大家估计都见过。
和上面结论1，相关联的另一个命题是：如果正整数 m 的 各位数（十进制）之和 是 3 的倍数，则 m 可以被 3 整除。
证明：
设，B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，令，
m = aᵣ10ʳ + aᵣ₋₁10ʳ⁻¹ + ... + a₁10¹ + a₀，(aᵣ, aᵣ₋₁, ..., a₁, a₀ ∈ B)
则：
m = aᵣ(10ʳ-1) + aᵣ₋₁(10ʳ⁻¹-1) + ... + a₁(10¹-1) + (aᵣ + aᵣ₋₁ + ... + a₁ + a₀)
而对于 n = 1, 2, ..., r 有：
10ⁿ - 1 = 9×10ⁿ + 9×10ⁿ⁻¹ + ... + 9×10 + 9
显然 3 | 10ⁿ - 1，于是：
3 | aᵣ(10ʳ-1) + aᵣ₋₁(10ʳ⁻¹-1) + ... + a₁(10¹-1)
进而 只需要保持：
3 | aᵣ + aᵣ₋₁ + ... + a₁ + a₀
即，
m 的 各位数之和 被 3 的整除（也就是：m 的 各位数之和 是 3 的倍数）
则，
3 | m
得证
根据证明过程，将上面命题将 3 替换为 9 同样成立。
思考思考的动物
为什么五个连续正整数能被120整除这个问题，前面的回答我这里就不能重复了。我要用的是自己的最好的方法。
大家都知道，
①连续两个正(或负)整数中必然有一个是2的倍数。
②连续三个正(或负)整数中必然有一个是3的倍数。
......
所以有：
公理1：连续n个正(或负)整数中，必然有一个是n的倍数。
根据公理1，可以得到：
推论：连续n个正(或负)整数的积，必然是n!的倍数。
可表示为：
n!丨n(n+1)(n+2)...(2n-1).
那么，120就是5!，必然整除连续5个正整数。
大家看看，这个公理可以吗？欢迎理论。
创新数
看了评论，没那么复杂。五个连续自然数中至少有个是3的倍数，有一个是5的倍数，而两个连续偶数的积一定是8的倍数，3×5×8=120，结论:五个连续自然数的积一定是120的倍数。
曾经冰心1
先看120的质因数分解：120=2*2*2*3*5。
五个连续整数至少有两个偶数，其中一个必然是4的倍数，因此这两个相邻的偶数的乘积必然包含3个质因数2。这五个连续整数又至少包含一个3的倍数和一个5的倍数，因此它们的乘积至少包含一个质因数3和一个5。
综上，五个连续整数的乘积至少包含三个质因数2、一个质因数3和一个质因数5，所以它能被120整除。
柳牧山
1*2*3*4*5
发现规律：
120=1*2*3*4*5
=(1*2*5)*(3*4)
=10*12
任何连续的5个正整数，必然有3*4的整数倍的数字或乘积；其它3个或4个数字中必然有5结尾的数字，另外必然有一个偶数结尾的数字，偶数*5必然是10的整数倍。
2*3*4*5*6
3*4*5*6*7
4*5*6*7*8
5*6*7*8*9
6*7*8*9*10
7*8*9*10*11
8*9*10*11*12
9*10*11*12*13
10*11*12*13*14
11*12*13*14*15
12*13*14*15*16
铁马度关山
这不就是组合排列公式吗？
C(m,n)=P(m,n)/n!
当n=5时，C(m,5)=P(m,5)/5!=P(m,5)/5×4×3×2×1=P(m,5)/120
显然，C是正整数，P是连续5个自然数的积，其实就是连续几个自然数相乘必被其个数的阶乘整除！
用户282109288
因为120=5！，在自然数列中，从任何一个正整数起始的5个连续自然数的积都是5！的倍数，所以，任何5个连续正整数都能被120整除。（5个连续正整数里面必有约数2、3、4、5）。
松鼠快乐翁
笨办法证明：因为1×2×3×4×5=120。那么任何五个连续正整数分别减去1、2、3、4、5之后的差均是一个相同的数（差值相同），而这个数就是1、2、3、4、5乘积的公倍数。所以“问题”成立。
顽石补天
连续五个正整数，必然有一个数被3整除，一个被4整除，一个被5整除，去掉被4整除的数，肯定还有一个被2整除的数
3*4*5*2=120
