kuaineinv

任何學科都有它固定的語言，要學好一門學科必須掌握好這門學科的語言。我們知道加和積的兩式是有交換律，所以a十b及b十a都可統一念成a加b或a與b的和。而減和除沒有交換律，a一b與b一a不同在讀式上就應有區別，前者念a減去b的差不能統一念成a與b的差。

數學語言體現在思維的靈活與邏輯的嚴謹上，只有讀懂數學語言才能提高數學成績。比如說“M在以AB為直徑的圓上”，你如果認為把直經為AB的圓寫出來再以M去驗證那中計了，而且十有八九求不出來。其實讀懂了就是“AM垂直BM”。

對孩子的輔導，要注重學科語言，養成良好的語言習慣。

楚天959

除和除以，我們好分，孩子們難分。站在孩子們的立場上，必須解決這個歧義。它的毛病是兩個詞接近，太象了。

這個問題已經摺磨了幾代人了。我現在已經是爺爺了，在我小時候，就受這個折磨，聽說現在的孩子們還在受這個折磨，我很震驚！

這個問題可以用中國的語言來徹底解決。加減乘除，四則運算，是科學基礎的基礎，是學生，是人都要學。而且學了就要用，可以受用終生。這個問題，對大人來說，問題不大，關鍵是孩子，不好學，難理解。不就是一個用詞的事嗎？我們改一改，不就完了嗎？

原來的乘和乘以也有區別，從六十年代開始，就有討論，但後來改了，都叫乘以，因為，有“乘法交換律”，不管怎麼乘，誰在前，誰在後，其結果都一樣。但除法就不同了，兩個數，誰在前？誰在後？大不相同。特別是有關百分數的計算。所以出現了除和除以，這很相近，又難分辯。我們可以不用這樣的說法，比如，我想了兩個備用詞，“被分”或者是“等分”，用來代替“除”！

舉例如下，8除以4等於2。反過來，可以說，4被分8等於0.5；4等分8等於0.5。或者更方便的說法，就是把除以反過來用，如，8除以4等於2；2以除8等於0.5。除以，以除，用這兩個說法最簡單明瞭，沒有歧義，一聽就懂，一講就清，一記就牢，何樂而不為？

我希望有老師，數學老師，或課本，教材，教育界的有關人員能看到我的意見，並引起重視，把數學教學的這個難點，用聰明的方法拔除掉，攻克掉！

盛廣學雜家雜論

“除”和“除以”的區別：

“除”，是除數在前，被除數在後；“除以”，是被除數在前，除數在後。

這個大家都知道，題主想問的應該是，為什麼要這麼區分。

那麼，這個問題，數學老師並不能回答。他們只知道，教材上就是這麼寫的，像公式和定理一樣，規定好了的，不需要質疑。

其實不是這樣。

我們先弄明白“除”和“除以”這兩個詞的意思。

舉例：一塊1000斤重的石頭，要將它平均切分為10塊。必須對它進行切割，也就是對它進行改變。可以寫作：1000÷10；可以讀作：10除1000，意為，用10來改變1000。

“除以”這個詞中，“除”的意思同上，只需理解“以”何意。

此處，“以”可釋為“用”。

仍然用上面那個例子：1000÷10；可以讀作：1000除以10。為便於理解，調整一下詞序，即“以10除1000”，意為，用10來改變1000。

用語文的敘事方式來表達就是：“1000除以10”屬於狀語後置，應調整語序為“以10除1000”。

這樣，“除，是除數在前，被除數在後；除以，是被除數在前，除數在後。”就比較好理解了。

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為便於大家理解，再舉兩個耳熟能詳的例子：

“蒙辭以軍中多務。”——《孫權勸學》

“屠懼，投以骨。”——《狼》

和“除以”用法一樣，都是狀語後置。

即，“除以”是承繼了古漢語的用法。沒想到吧？

毫米

關於“除”和“除以”的區別，前面的幾位高手的回答已經非常清楚了，且引經據典，令人信服。

不過，這使我想到另一個問題。

以前數學教材中有“乘”和“乘以”的區別，讓人很難分清，使得學生以及家長乃至教師頭疼不己，卻沒有人能解決這個問題，因為這個問題類似於“歷史遺留”問題。

據說，有一天，一位重量級的領導人難得休息在家，其孫子遇到這樣的難題無法解決，於是求助於爺爺。爺爺看了這個問題之後十分不滿，認為沒有必要用這種無聊的字面遊戲折磨人！於是召集相關的部門領導人提出來：取消“乘”與“乘以”的區別，至此，從教材中取消了這個問題。

但是，關於“除”和“除以”卻沒有這麼簡單。因為在乘法中，前後兩個數交換，不影響計算的結果，也就沒有了“乘數”與“被乘數”兩個概念了。而在除法中卻必須要分清被除數與除數，怎麼辦呢？聰明的人想到了“淡化”的方法！在數學教材上一般不再出現“除”了。現在只有在一些不夠規範的書中才會出現。

我想，隨著時間的推移，“除”和“除以”也許會統一吧。

江濤89650

我並不贊同在小學數學教育中區分除和除以。

作為初中老師，經常遇到學生在解一元一次方程時，出現以下錯誤：4x=2，兩邊除以4之後，結果是x=2.

原因便是那個除和除以混淆，為了弄清是否在小學階段普遍存在這個問題，我專門詢問了隔壁小學數學老師，回答是在小學，除法講授過程中，的確要區分這兩個詞，至於為什麼，他也沒能讓我明白。

七年級時，解一元一次方程，一元一次不等式時，這類現象通過強化訓練後，情況會稍好一些，但是到應用題文字理解時，它又出來闖禍了，例如“a是b的一半”，就有學生錯誤寫成0.5a=b，如果同時再來一個“a的一半是b”，學生徹底糊塗。

我認為，數學文字理解，和語文中的閱讀理解不同。

數學文字理解，需要將文字轉化成數學語言描述，即用數學符號表示文字信息，而語文中的閱讀理解更強調文字轉化成形象，這二者本質不同。

而且從初中階段的使用來看，基本不會用到小學中的“除”，而全部用“除以”，高中更是如此，那麼，還有什麼必要在小學數學教育中保留那個“除”，人為增加學生學習困難呢？

愛數學做數學

中國小學數學教育分除和除以的利弊

謝薦。我是錒銰，過渡元素錒系的錒，未來原元素銰系的銰。為往聖續絕學，為新世界開天。

• 數學語言重於咬文嚼字

學數學先學好語言，不管漢語英語。在古代漢語裡，除以是兩個詞，除是動詞，分、分配、分割，以是介詞，被、用。如100蘋果被50人分(100除以50)，或50人分100蘋果(50除100)。

日常生活用不到五人除十果這種文言表達。英文divide在生活中表分、分割，divide 100 apples by 50 men，或divide 100 apples into 50，或者50 men divide 10 0 apples.中國小學數學區分除和除以，是因中國語言文字富有多樣性而博大精深，是因小學數學教材編輯都偏愛語文，白話文興起不久，數學又是西洋人的發明和發現，所以那時才搞那麼複雜，顯得水平高還要隨大流。

現代小學數學教材已降低難度，逐漸淡化咬文嚼字類問題了。如乘法運算不再強調乘數和被乘數區分，直接乘數。除法運算則被除數和除數，無論教材怎麼修改都不混淆。所以除和除以，無論例題還是習題都規避不談。

♦高斯代數論包括加減乘除

這主要是古代文言用法問題。除，除數在前，被除數後；除以，被除數在前，除數後。花哨說法，意思一樣。文言文使用習慣和傳承導致這個麻煩，除和除以，當初有必要區分。現代文明進步及與世界接軌密切，這種語言文字麻煩繼承被抹去。數學不是語言文字遊戲，數學運算文言表達徒增教學難題。

現今小學生幸福了，學習數學再沒了除和除以。新版小學數學教材，已不提不考這晦澀難懂點，完全按國際通用版被除數÷除數＝商……餘數規則設置，簡單易學還很實用。

♦四則運算雲狀態圖

例如51單片機數據存儲空間有限，所以不能開闢過多數據空間，C語言處理四則運算代碼無法直接通過改寫、編譯燒錄。故實驗可採用狀態轉換式實現計算器簡單四則運算。使用數據空間3個(a, b, c)即可實現。在這個實驗中如果用除以和除來混淆，極不便程序代碼設計。

♦天竺數字和代數論四則運算

• 四則運算

加法：把兩個數合併成一個數的運算。減法：已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算。法則：加法和減法，同單位數相加減單位不變，單位個數相加減。①整數、小數：相同數位對齊（小數點對齊）；從低位算起；加法中滿幾十就向前一位進幾，減法中不夠減時，就從高一位借1當10.②分數：同分母分數相加減，分母不變，分子相加減；異分母分數相加減，先通分，再按同分母分數加減法則計算，計算結果能約分的要約分。

乘法：求兩個數的乘積的運算。法則：一個數乘整數，是求幾個相同加數和的簡便運算。一個數乘小數，是求這個數的十分之幾、百分之幾、千分之幾……是多少。一個數乘分數，是求這個數的幾分之幾是多少。①整數：從個位乘起，依次用第二個因數各位上的數去乘第一個因數各位上的數；用第二個因數哪一位上的數去乘，積的末位就和第二個因數的那一位對齊，最後把各部分的積相加。

除法：已知兩個因數的積與其中的一個因數，求另一個因數的運算。法則：①整數：除數是幾位數，就看被除數的前幾位，如果不夠商1，被除數就多看一位後再試商。除到被除數的哪一位，商就寫在那一位的上面，每次除得的餘數都必須比除數小。②小數：除數是整數的小數除法，按整數除法的法則進行計算，商的小數點要和被除數的小數點對齊；除數是小數的小數除法，先移動除數的小數點，使除數變成整數，同時把被除數的小數點向右移動相同的位數（位數不夠，添0補足），然後按除數是整數的小數除法進行計算。

♦四則運算概念圖

任何學科都有本質語言，要學好必須掌握好語言。加和積交換律的a十b及b十a，都統一念成a加b或a與b的和。減和除無交換律，a一b與b一a讀式應有區別，前者念a減b的差，不能統一念成a與b的差。

數學語言思維靈活，邏輯嚴謹，讀懂數學語言就能很快提高數學成績。比如B在以AC為直徑的圓上，如用直徑AC去驗證B則愚昧中計了，且不易求出來。讀懂題目語言了，就輕而易舉：

優秀師長善於教輔孩子，不良善於師長累贅孩子。注重學科語言，養成良好習慣。歡迎補充，以求真知。

錒銰

沒那麼複雜。小學數學課本和老師都已經說的很清楚了：除號左邊是被除數，除號右邊是除數。那麼，算式21÷7，就是”21被7除”，翻過來說是”7除21”，也就是“21除以7”，三種說法是很和諧的。這個很好理解，比如說蘋果個數是被除數，小孩人數是除數，對於算式“21÷7”，就可以解說為：“27個蘋果被7個小孩均分”、“7個小孩均分21個蘋果”或“21個蘋果均分以7個小孩”。在文字語言表述中，由於“21除以7”是最符合算式21÷7的書寫次序的，所以成為最流行的表述法。多說幾句，其實乘號也是這樣的，左邊是被乘數，右邊是乘數，只不過由於兩者的順序不影響運算結果，所以經常被人們混淆。嚴格來說，3x7和7x3的意義是不同的。咱再拿蘋果和小孩舉例：如果說蘋果個數是被乘數，小孩人數是乘數，那麼，“3x7”（三乘以七、七乘三）是7個小孩每人吃3個蘋果，“7x3”（七乘以三、三乘七）是3個小孩每人吃7個蘋果，雖然吃的蘋果總數一樣，但是意義是不一樣的。

微風238165951

我也班門弄斧，來談談“除”和“除以”的區別。

其實，這個問題並不複雜。說簡單點，在運算中，“除”就是等分的意思，僅舉一例：3除12，就是3等分12。國際通用的算式把3除12表示為12÷3。在這個算式中，被等分（或被除）的12在除號前，而表示要等分的份數的3在除號後，這樣，如果讀成“3除12”，顯然不符合從左到右依次閱讀的規則；讀成“12被3除”雖然也沒錯，但仍然是把除數和除號的閱讀順序打亂了。

為了解決讀除法算式遇到的麻煩，聰明的中國人便利用文言句式的讀法，用“除以”表示“被等分”，如12÷3這個式子讀成“12除以3”，這樣，就完全按照從左到右的順序讀句子，不會再有障礙了。

總而言之，“除”和“除以”千萬不可搞混。只要給學生講清楚“除”的意思就是“等分”即“平均分”，“除以”就是“被等分”的意思就行了。在最初學習除法時，應當多強調遇到除號一定要讀成“除以”，而不能讀成“除”。

松鼠快樂翁

首先，中文裡，說“A除B”是“A改變B”的意思，A是施動作者，B是受動者，發生改變的是B。例如，“小明除四害。”，小明使四害發生改變（從有到無）。當然，A 和 B 可以有關聯，例如，“小明除掉的自己的惡習”，小明改變了自己（惡習沒了）。

回到除法運算本身，考慮算式 5÷3＝1餘2，可以有兩個解釋：

◆3 使得 5 變成 1餘2；

◆5 使得 3 變成 1餘2，

因為，5＝1×3＋2 且 3 ≠1×5＋2，所以 第一種解釋是正確的，即，3是施動者A，5是受動者B，於是該算式翻譯成中文應該是：“3除5得1餘2。” 也可以是： “(某人）用3除5得1餘2”，即，“5除以3得1餘2”。

乘和除類似，“A乘B”是“A改變B”，發生變換的是B。除的改變一般是解構，乘的改變一般是建構。同樣考慮 算式 2×3＝6，有兩個解釋：

◆2使得3變成6；

◆3使得2變成6，

由於 乘法滿足 交換律，所以上面的兩個解釋都可以，於是該算式的中文翻譯可以是：

①“2乘3得6”

②“3乘以2得6”

③“3乘2得6”

④“2乘以3得6”，

①④、②③說明乘和乘以語用相同。

①③、②④說明 主3賓2 和 主3賓2 的語用相同，進而說明：主賓順序 和 算式順序 無關。

減和除有區別，“A減B”是“A的B改變引起A發生改變”的意思。例如“小明減肥”，小明的肥發生變化（減少）於是小明變瘦了。考慮算式 3－2＝1，可解釋為：

◆3的2消失，3變成1；

◆2的3消失，2變成1；

根據 3＝2＋1，顯然第一個解釋正確，即，3是A，2是B，算式翻譯成中文是 “3減2得1”。“減去”和“減”是同一個意思，如果想讓主賓反序可用“去減”，“A去減B”就是“A改變B” 和 “A除B” 類似。

加和減的情況類似，加、加上、去加 對應 減、減去、去減。注意：雖然加和乘一樣具有交換律，但加和去加語意不一樣。

思考思考的動物

英文裡也是這樣的。

乘法和加減法也一樣，只是乘法和加法有交換律而不影響計算結果，但有“以”與沒“以”的語言差別是存在的。

但是，認真仔細的人還是能體會出加減乘字與除字的語法語序不同之處的，前者有以沒以與後者的語序剛好相反。

即：加減乘法中，被加減乘數在前加減乘數在後且有以無以與詞序無關，而除法中，被除數在前或上除數在後或下，有以無以被除數和除數需交換詞序。

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關鍵字: 交換律 念成 學科