模型可以讓同學更快的進入到幾何之中，產生興趣。也是近來學習初中幾何不可或缺的一種重要方法。手拉手模型是整個初中幾何的重點，因其圖形繁，變形多，結論多而導致很多學生掌握不牢固，全等題目做了很多，再次碰到類似的題目，還是不知道具體的解題思路是什麼，這是孩子們沒有總結特點所導致的問題，今天我們就手拉手模型的常見題型來具體說一下，這裡給出四個常見模型:
經典考題
1．如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，PA＝3，PB＝3√3，PC＝6，則∠APB＝_____ °，AB長為_______．
【解析】：將△APC繞點A旋轉60°得到△AEB，過點B作BF⊥AP於點F，
∴AE＝AP＝3，BE＝PC＝6，∠PAE＝60°，
∴△AEP是等邊三角形，∴EP＝AP＝3，∠APE＝60°，
變式1．如圖，P為等邊三角形ABC內的一點，且P到三個頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，則△ABC的面積為（ ）
【解答】：∵△ABC為等邊三角形，∴BA＝BC，
可將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，連EP，且延長BP，作AF⊥BP於點F．如圖，
∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，
∴△BPE為等邊三角形，
∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，
在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，
變式2．如圖，等邊三角形ABC內有一點P，分別連結AP、BP、CP，若AP
【解析】：如圖，將△BPC繞點B逆時針旋轉60°後得△AP'B，連接PP′，
根據旋轉的性質可知，旋轉角∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，
∴△BPP′為等邊三角形，∴BP′＝BP＝8＝PP'；
由旋轉的性質可知，AP′＝PC＝10，
在△BPP′中，PP′＝8，AP＝6，
由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，
2.已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點D、E在邊BC上，且∠DAE＝1/2α．如圖3，當α＝120°，BD＝4，CE＝5時，請直接寫出DE的長為_______．
【解析】：如圖3，將△AEC繞點A順時針旋轉120°到△AFB的位置，連接DF，
∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACB，
由（1）知，△ADE≌△ADF，
∴DE＝DF，BF＝CE＝5，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠DBF＝∠ABC+∠ABF＝∠ABC+∠ACB＝60°，
過點F作FM⊥BC於M，
在Rt△BMF中，∠BFM＝90°﹣∠DBF＝30°，BF＝5，
3.如圖4，四邊形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα＝3/4，CD＝5，AD＝12．請在圖中構造小剛發現的手拉手模型求BD的長．
【解答】如圖，過點A 作AE垂直於AD，作∠AED＝α，連接CE，則∠EDC＝90°，
∵∠AED＝∠ACB＝α，∠CAB＝∠DAE＝90°,
∴△AED∽△ACB,∴AE/AD=AC/AB.
∵∠CAB＝∠DAE＝90°,
∴∠CAE＝∠DAB，且AE/AD=AC/AB.
∴△AEC∽△ADB,∴CE/BD=AC/AB.
∵△AED∽△ACB,∴∠ADE＝∠ABC.
∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ADC＝∠ACB,
∴∠ADC+∠ADE＝90°,∴∠EDC＝90°.
4. 【問題解決】
一節數學課上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，點P是正方形ABCD內一點，PA＝1，PB＝2，PC＝3．你能求出∠APB的度數嗎？
小明通過觀察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得到△BP′A，連接PP′，求出∠APB的度數；
思路二：將△APB繞點B順時針旋轉90°，得到△CP'B，連接PP′，求出∠APB的度數．
請參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過程．
【類比探究】
如圖2，若點P是正方形ABCD外一點，PA＝3，PB＝1，PC＝√11，求∠APB的度數．
【分析】（1）思路一、先利用旋轉求出∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝2，AP'＝CP＝3，利用勾股定理求出PP'，進而判斷出△APP'是直角三角形，得出∠APP'＝90°，即可得出結論；
思路二、同思路一的方法即可得出結論；
（2）同（1）的思路一的方法即可得出結論．
【解答】：（1）思路一、如圖1，
將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得到△BP′A，連接PP′，
∴△ABP'≌△CBP，
∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝2，AP'＝CP＝3，
在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝2，
∴∠BPP'＝45°，根據勾股定理得，PP'＝√2，,BP＝2√2，
∵AP＝1，
∴AP²+PP'²＝1+8＝9，
∵AP'²＝32＝9，∴AP²+PP'²＝AP'²，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，
∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+45°＝135°；
（2）如圖2，將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得到△BP′A，連接PP′，
∴△ABP'≌△CBP，
∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝1，AP'＝CP＝√11，
在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝1，
∴∠BPP'＝45°，根據勾股定理得，PP'＝√2BP＝√2，
∵AP＝3，
∴AP²+PP'²＝9+2＝11，
∵AP'²＝（√11）²＝11，
∴AP²+PP'²＝AP'²，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，
∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．
5. 如圖，正方形ABCD中，AB=2√5，O是BC邊的中點，點E是正方形內一動點，OE=2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF，連接AE、CF．求線段OF長的最小值。
分析：觀察動圖：
因為OE=2，所以E點在以O為圓心，2為半徑的一段圓弧上（在正方形內）。旋轉中心是定點D，主動點是E，從動點是F；DE⊥DF且DE=DF，故旋轉方向為逆時針，旋轉角度為90°，縮放比例為1:1。
解析：作DO'⊥DO且DO'=DO，則F點的運動軌跡是以點O'為圓心，2為半徑的圓。連接OO'，與圓O'交點即為F點，此時OF最小。
根據手拉手模型的旋轉全等，顯然∆ODE≌∆O'DF，所以∠ODE=∠O'DF。易證∠ODO'=90°，故∆ODO'為等腰直角三角形。
因為OC=√5，CD=2√5，OC⊥CD，所以OD=5，所以OO'=5√2。故OF的最小值是（5√2-2）。
反思總結
手拉手模型，是初中幾何最常見的一類重要模型，它又分為全等型手拉手模型和相似型手拉手模型，究其本質就是圖形的旋轉全等和旋轉縮放。全等型手拉手模型具有以下三個主要特徵：雙等腰、共頂點、頂角相等。
如果圖中只有一個等腰三角形，我們可以再構造出另一個等腰三角形，從而將圖形補成手拉手模型。這樣就能應用"手拉手模型"中的三角形全等，將條件集中到一個三角形中，這樣問題就能迎刃而解。
尤其針對第5題這類題型在中考中越來越熱，其主要結構就是兩個動點和一個定點，其中一個動點繞著這個定點旋轉一定的角度。此類題由於動中有動，動點聯動，變化複雜，故很有研究的價值和必要。本質實際上就是兩動一定加旋轉。我們把兩個動點區分為"主動點"和"從動點"，一個定點就是旋轉中心。如果同時滿足兩點：①主動點、從動點與定點連線的夾角是定值（如以上三則例題中∠CAB是定值）；②主動點、從動點到定點的距離之比是定值（如以上三則例題中BA:CA是定值），則從動點與主動點的運動軌跡的形狀相同，大小則按上述距離之比進行縮放。我們把具有以上性質的幾何模型稱之為主從聯動模型。
手拉手模型對以後幾何的學習有著重要的影響，不僅在於知識量上的掌握，還在於學習方法上的改變，讓孩子們學會總結，學會類比，這才是學習手拉手模型最重要的地方。
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