模型可以让同学更快的进入到几何之中，产生兴趣。也是近来学习初中几何不可或缺的一种重要方法。手拉手模型是整个初中几何的重点，因其图形繁，变形多，结论多而导致很多学生掌握不牢固，全等题目做了很多，再次碰到类似的题目，还是不知道具体的解题思路是什么，这是孩子们没有总结特点所导致的问题，今天我们就手拉手模型的常见题型来具体说一下，这里给出四个常见模型:
经典考题
1．如图，P是等边三角形ABC内的一点，PA＝3，PB＝3√3，PC＝6，则∠APB＝_____ °，AB长为_______．
【解析】：将△APC绕点A旋转60°得到△AEB，过点B作BF⊥AP于点F，
∴AE＝AP＝3，BE＝PC＝6，∠PAE＝60°，
∴△AEP是等边三角形，∴EP＝AP＝3，∠APE＝60°，
变式1．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）
【解答】：∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，
∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，
在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，
变式2．如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP
【解析】：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，
根据旋转的性质可知，旋转角∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，
∴△BPP′为等边三角形，∴BP′＝BP＝8＝PP'；
由旋转的性质可知，AP′＝PC＝10，
在△BPP′中，PP′＝8，AP＝6，
由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，
2.已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E在边BC上，且∠DAE＝1/2α．如图3，当α＝120°，BD＝4，CE＝5时，请直接写出DE的长为_______．
【解析】：如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转120°到△AFB的位置，连接DF，
∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACB，
由（1）知，△ADE≌△ADF，
∴DE＝DF，BF＝CE＝5，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠DBF＝∠ABC+∠ABF＝∠ABC+∠ACB＝60°，
过点F作FM⊥BC于M，
在Rt△BMF中，∠BFM＝90°﹣∠DBF＝30°，BF＝5，
3.如图4，四边形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα＝3/4，CD＝5，AD＝12．请在图中构造小刚发现的手拉手模型求BD的长．
【解答】如图，过点A 作AE垂直于AD，作∠AED＝α，连接CE，则∠EDC＝90°，
∵∠AED＝∠ACB＝α，∠CAB＝∠DAE＝90°,
∴△AED∽△ACB,∴AE/AD=AC/AB.
∵∠CAB＝∠DAE＝90°,
∴∠CAE＝∠DAB，且AE/AD=AC/AB.
∴△AEC∽△ADB,∴CE/BD=AC/AB.
∵△AED∽△ACB,∴∠ADE＝∠ABC.
∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ADC＝∠ACB,
∴∠ADC+∠ADE＝90°,∴∠EDC＝90°.
4. 【问题解决】
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3．你能求出∠APB的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；
思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数．
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
【类比探究】
如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝√11，求∠APB的度数．
【分析】（1）思路一、先利用旋转求出∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝2，AP'＝CP＝3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'＝90°，即可得出结论；
思路二、同思路一的方法即可得出结论；
（2）同（1）的思路一的方法即可得出结论．
【解答】：（1）思路一、如图1，
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，
∴△ABP'≌△CBP，
∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝2，AP'＝CP＝3，
在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝2，
∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'＝√2，,BP＝2√2，
∵AP＝1，
∴AP²+PP'²＝1+8＝9，
∵AP'²＝32＝9，∴AP²+PP'²＝AP'²，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，
∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+45°＝135°；
（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，
∴△ABP'≌△CBP，
∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝1，AP'＝CP＝√11，
在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝1，
∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'＝√2BP＝√2，
∵AP＝3，
∴AP²+PP'²＝9+2＝11，
∵AP'²＝（√11）²＝11，
∴AP²+PP'²＝AP'²，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，
∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．
5. 如图，正方形ABCD中，AB=2√5，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值。
分析：观察动图：
因为OE=2，所以E点在以O为圆心，2为半径的一段圆弧上（在正方形内）。旋转中心是定点D，主动点是E，从动点是F；DE⊥DF且DE=DF，故旋转方向为逆时针，旋转角度为90°，缩放比例为1:1。
解析：作DO'⊥DO且DO'=DO，则F点的运动轨迹是以点O'为圆心，2为半径的圆。连接OO'，与圆O'交点即为F点，此时OF最小。
根据手拉手模型的旋转全等，显然∆ODE≌∆O'DF，所以∠ODE=∠O'DF。易证∠ODO'=90°，故∆ODO'为等腰直角三角形。
因为OC=√5，CD=2√5，OC⊥CD，所以OD=5，所以OO'=5√2。故OF的最小值是（5√2-2）。
反思总结
手拉手模型，是初中几何最常见的一类重要模型，它又分为全等型手拉手模型和相似型手拉手模型，究其本质就是图形的旋转全等和旋转缩放。全等型手拉手模型具有以下三个主要特征：双等腰、共顶点、顶角相等。
如果图中只有一个等腰三角形，我们可以再构造出另一个等腰三角形，从而将图形补成手拉手模型。这样就能应用"手拉手模型"中的三角形全等，将条件集中到一个三角形中，这样问题就能迎刃而解。
尤其针对第5题这类题型在中考中越来越热，其主要结构就是两个动点和一个定点，其中一个动点绕着这个定点旋转一定的角度。此类题由于动中有动，动点联动，变化复杂，故很有研究的价值和必要。本质实际上就是两动一定加旋转。我们把两个动点区分为"主动点"和"从动点"，一个定点就是旋转中心。如果同时满足两点：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定值（如以上三则例题中∠CAB是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定值（如以上三则例题中BA:CA是定值），则从动点与主动点的运动轨迹的形状相同，大小则按上述距离之比进行缩放。我们把具有以上性质的几何模型称之为主从联动模型。
手拉手模型对以后几何的学习有着重要的影响，不仅在于知识量上的掌握，还在于学习方法上的改变，让孩子们学会总结，学会类比，这才是学习手拉手模型最重要的地方。
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